[수학] 미분/적분 기호의 순서를 바꿀 수 있는 근거

공학 공부를 하다보면 식을 전개할 때 미분적분 기호의 순서를 바꾸는 경우가 왕왕 있다.

그런데 미적분학 내용이 가물가물하다보니 무슨 근거로 적분 기호 순서를 맘대로 바꾸는지 모르겠어서 이번 기회에 조금씩 정리를 하려고 한다.

 

대부분의 내용은 영문 wikipedia를 참고하였다. 더 엄밀하게 따지려면 수학전공책을 보고, 여기서는 바로 활용하기 좋게 간단히 적는다.

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개념

• integrand : 피적분함수 (적분의 대상이 되는 함수)
• iterated integral : $\int \left ( \int f(x,y) dx \right) dy$
  iterated integral은 위 식을 예로 들면 y를 given이라고 생각하고 x에 대해서 적분한다. x라는 변수가 사라졌을 것이므로 y에 대해서도 적분한다.
• multiple integral (double integral) : $\int \int f(x,y) dx dy$
  여러 개의 변수로 정의된 공간 (예를 들면, $x,y \in \mathbb{R}^{2}$)에서 정의된 definite integral을 multiple integral이라고 한다.

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1. 적분 기호 중첩

 

Fubini's theorem에 따르면 multiple integral이 피적분 함수를 절댓값으로 바꿨을 때 finite한 값으로 double integral 결과가 나온다면 integration의 순서를 바꿔도 된다.

(위키피디아 원문 문장 : One may switch the order of integration if the double integral yields a finite answer when the integrand is replaced by its absolute value.)

 

${\displaystyle \int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y}$

 

즉, iterated integral을 동일한 integrand를 갖는 double integral과 같다는 것을 의미한다.

 

또한 이것은 Fubini's theorem for infinite series라고 해서 series에도 동일하게 적용할 수 있다.

if ${\displaystyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ is a doubly-indexed sequence of real numbers,
and if ${\displaystyle \sum _{(m,n)\in {\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}}}a_{m,n}}$ is absolutely convergent,
then${\displaystyle \sum _{(m,n)\in {\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}}}a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}}$

 

 

Fubini's theorem과 더불어서 비슷하게 Tonelli's theorem도 있다고 한다.

 

 

간단하게만 설명했지만 Fubini's theorem은 더 깊은 내용이 있어서 추가적으로 쓰는 내용

(나중에 추가)

 

 

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2. 미분 기호 중첩

두 개 이상의 변수가 있는 함수에 대해서 각 변수로 편미분할 때 순서를 바꿀 수 있을까?

 

$\frac{\partial}{\partial x}\left ( \frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial x} \right)$

 

 

Schwarz's theorem(Clairaut's theorem on equality of mixed partials)에 따르면

For a function $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ defined on a set $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$, if $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$ is a point such that some neighborhood of $\mathbf{p}$ is contained in $\Omega$ and $f$ has continuous second partial derivatives at the point $\mathbf{p}$, then $\forall i, j  \in \{1,2,...,n\}$
$\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}f(\mathbf{p})=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{j}x_{i}}f(\mathbf{p})$

 

여기서 중요한 전제조건은 f는 continuous 2nd order derivatives가 존재해야한다는 점이다.

 

 

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3. 미분적분 기호가 같이 있을 때

 

Leibniz integral rule은 다음과 같다.

 

$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)dt = f(x,b(x))\frac{d}{dx}b(x) - f(x,a(x))\frac{d}{dx}a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt$

 

special case

$a(x)=a$ (constant)

$b(x)=b$ (constant)

 

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)dt = \int_{a}^{b}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt$

 

만약 $a(x),b(x)$가 constant라면 미분 기호가 적분 안으로 들어와도 문제가 없다.

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참고자료

https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_integral

https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral

https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration_(calculus) 

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives