Game theory는 수학 분야 중의 하나로 여러 agents가 있을 때의 최적 의사결정을 다루는 학문이다. Game theory는 경제, 통신 등 다양한 분야에서도 쓰이지만 Optimal control 분야에서도 많이 쓰이는데 대표적으로 Pursuit-evasion problem이다. 이는 Non-cooperative, two player, zero-sum game으로 볼 수 있고 이에 대한 formulation을 Pontryagin's maximum principle과 Bellman's equation 두 가지 approach를 통해 analytical solution을 구할 수 있다. Pontryagin's maximum principle의 경우에는 시간에 대한 입력으로 결과가 나오기 때문에 op..

요즘 uncertainty에 대해 고민을 하다가 알게 되는 내용을 기록하고자 쓰는 글. 1. Matched uncertainty Matched uncertainty : the uncertain terms enter the state equation at the same point as the control input, which allows the control to dominate their effect (Khalil, nonlinear control) 2. Structured uncertainty & Unstructured uncertainty Uncertainty의 다른 분류로 structured and unstructured uncertainty로 나눌 수 있다. Structured uncerta..

x라는 변수를 z라는 변수로 mapping할 때 식으로 다음과 같이 표현한다고 하자. $z=T(x)$ 흔히 선형대수학에서는 transformation matrix $T$로 표현하면 $z=Tx$로 similarity transformation을 수행할 수 있었다. (T가 nonsingular일 때) 비선형 mapping인 경우에는 $z=T(x)$에서 T가 invertible해야한다. 이 말을 다르게 하면 inverse map $x=T^{-1}(z)$가 모든 $z\in T(D)$ (D는 T의 domain)에서 존재해야한다는 뜻과 같다. 보통 T가 함수로 표현되기 때문에 T의 미분은 z와 x에 대하여 continuously differentiable해야한다. A continuously differentiabl..

Khalil의 nonlinear control에서 선형 시스템의 stability를 다음과 같은 theorem으로 정리한다. $\textbf{Theorem 3.1}$ The equilibruim point $x=0$ of $\dot{x}=Ax$ is stable if and only if all eigenvalues of A satisfy $Re[\lambda_{i}]\leq 0 $ and for every eigenvalue with $Re[\lambda_{i}]=0$ and algebraic multiplicity $q_{i}\geq 2 $, $\operatorname{rank}(A-\lambda_{i})=n-q_{i}$, where $n$ is the dimension of $x$. The equi..

조금이라도 제어에 대해 공부한 사람이라면 한 번쯤 들어볼 법한, Lyapunov stability theorem. 이 Lyapunov stability theorem에 대한 증명은 Khalil의 Nonlinear control에 잘 나와있다. 처음에 그냥 읽으면 무슨 소리인지 납득이 안되는 부분이 있는 것 같아서, 증명을 이해하는 연결다리를 써보고자 글을 쓴다. Lyapunov stability theorem $\text{If there is }V(x)\text{ such that }V(0)=0\text{ and }V(x)>0,\; \forall x\in D\text{ with }x\neq 0$ $\dot{V}(x)\leq 0\; \forall x\in D$ $\text{then the origin is..

저번 글에서 phase plane과 vector field diagram을 그려주는 MATLAB app을 소개했었다. 그런데 이 프로그램은 2차원에서만 가능하기 때문에 변수가 하나 더 늘면 구현이 불가능했다. 그래서 간단하게 3차원 공간에서 벡터 필드를 그리고, 실제 초기 조건에 대하여 시뮬레이션까지 수행하여서 그려보는 코드를 작성하였다. 1. 시스템 $\dot{x}=-x+y$ $\dot{y}=-0.1x^3-y-10\sin x$ $\dot{z}=y-z$ 다음과 같은 시스템이 있다고 할 때 interval = pi/2 ; start_pt = -pi ; end_pt = -start_pt ; [x1,y1,z1] = meshgrid(start_pt:interval:end_pt, start_pt:interval:..

Autonomous 시스템에 대하여 Phase portrait (state plane, phase plane)을 그려주는 프로그램이 있어서 수업시간에 배운 내용을 그려보았다. 프로그램의 UI가 잘 되어있어서 추천하는 바이다. 1. Tunnel-diode circuit system 다음 시스템은 Tunnel-diode circuit 시스템을 다룬 것이며 이 시스템은 $x_{1}=v_{C}, x_{2}=i_{L}$ 일 때 $$ \begin{gathered} \dot{x}_1=0.5\left[-h\left(x_1\right)+x_2\right] \\ \dot{x}_2=0.2\left(-x_1-1.5 x_2+1.2\right) \\ h\left(x_1\right)=17.76 x_1-103.79 x_1^2+229..

1. Time domain에서의 해석 low pass filter 식으로 알려져있는 $\displaystyle\frac{y}{y_{c}}=\frac{1}{\tau s + 1}$는 time domain에서 다음과 같이 표현된다. $\dot{y}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(y-y_{c})=0$ 여기서 $\tau$는 시상수(time constant)라는 이름으로 많이 쓰인다. 그 의미는, response가 1을 기준으로 $1-e^{-1}=0.6321$만큼 도달했을 때의 시간을 의미한다. 이를 구하는 방법은 역라플라스 변환도 있는데 직접적으로 구하면 $\dot{y}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(y-y_{c})=0$ $\displaystyle\frac{dy}{y-y_{..

Optimal control problem은 광범위하지만, 보통 세 가지 problem을 주로 다룬다. 이 문제 형식으로 formulation을 해서 문제를 푸는 방식들에 적용하는 것이라고 생각하면 될 것이다. 기호 표현 및 정의 집합 B에 대한 A의 차집합 $B \backslash A$는 B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합을 의미한다. functional : $$ F[y(x)]=\int_{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$$ 주어진 문제 상황 Controlled object $$\dot{x}=f(x,u)$$ $\text{where } x=(x^{1},x^{2},..,x^{n})^{\top}\in R^{n}$ : state $u = (u^{1},u^{2},...,u^{r})^{\top}..

Linear quadratic regulator 라는 용어를 보다가 정리하는 글. 나중에 좀 더 자료를 보강할 필요가 있다. 1. Regulation problem 시스템의 초기 state와 external disturbance(외란)에 관계없이 0으로 수렴하도록 만들어야 하는 문제이다. reference signal이 0일 때, 초기 상태나 외란으로 인해 0에서 시작할 수 없어도 나중에는 0으로 수렴해야 한다. 2. Tracking problem Reference signal $r(t)$가 있을 때 그 $r(t)$와 출력 $y(t)$ 사이의 에러가 0이 되도록 만들어야 하는 문제이다. servo problem이라고도 한다. 두 문제가 같은 것처럼 보이지만 하나는 disturbance를 제거하는 문제이고..