이번에는 explicit euler 방법이 아닌 implicit euler 방법을 사용하고자 합니다. # Notation 참고 $x_{B}^{A}$ : $A$는 시간에서의 위치(Timesteps), $B$는 공간에서의 위치를 의미합니다. $y^{'}=f(y,t)$ model problem인 $y^{'}=\lambda y$을 implicit euler 방법으로 풀어보겠습니다. $\frac{y^{n+1}-y^{n}}{\Delta t}=f(y^{n+1},t^{n+1})$ : implicit euler이므로 현재 y,t값이 아닌 미래의 값(n+1)을 사용합니다. $\frac{y^{n+1}-y^{n}}{\Delta t}=\lambda y^{n+1} \Rightarrow y^{n+1}-\lambda \Delta t..

Explicit euler 방법에 대해서 설명하겠습니다. (이전 글에서도 다룬 적이 있어서 링크를 달아놓겠습니다.) $y^{'}=f(y,t)$이라고 할 때 시간 축에서 한 step 움직였을 때, y값을 구하고자 합니다. 이전 step의 값을 알고 있다고 가정하고, taylor expansion을 통해서 구합니다. $y^{n+1}=y(t^{n}+\Delta t)=y^{n}+\Delta t (y^{n})^{'}+\frac{\Delta t^{2}}{2!}(y^{n})^{''}+\frac{\Delta t^{3}}{3!}(y^{n})^{'''}+\cdots$ 이 식을 $y^{'}$에 대해서 정리합니다. $(y^{n})^{'}=\frac{y^{n+1}-y^{n}}{\Delta t}-\frac{\Delta t}{2!..

이번에는 ODE를 수치해석적인 방법으로 푸는 것에 대해 다루겠습니다. 1. Introduction 예를 들어 $y^{''}+wy=f(x)$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+wy=f(x)$ 적분 상수가 2개 나오므로 조건이 2개가 필요합니다. initial value problem(IVP)이면 초기조건이 주어지고 $y(0)=y_{0}$ $\left. \frac{dy}{dx} \right |_{x=0}=v_{0}$ boundary value problem(BVP)이면 $y(0)=y_{0}$ $y(L)=y_{L}$ 일단 처음에는 IVP를 먼저 풀고, 그 다음에 BVP로 확장하겠습니다. 모든 방법은 $0\leq t \leq t^{n}$에서의 solution을 알고 있다고 가정하고 그 solution을 ..

이전 interpolation에서 이어지는 내용입니다. 1. Linear interpolation 일반적으로 smooth한 것이 필요한 게 아니라면 linear interpolation을 사용해도 괜찮을 수 있습니다. 하지만 $f^{'},f^{''}, \text{ or }\int f dx$을 알고 싶은 것이 목적이기 때문에 여기서 linear interpolation은 넘어가겠습니다. 2. Cubic Spline interpolation Spline interpolation은 공학적으로 유용한 interpolation이라고 합니다. 2차 미분도 가능하면서, computational cost도 적기 때문입니다. 예를 들어 bending 문제를 살펴보겠습니다. 외부 힘이 중력만 작용하는 경우 이 시스템을 $..

normal-engineer.tistory.com/83 이 글과 이어지는 내용입니다. 1. Solution 계산에 필요한 operation cost 앞에서 modeling - transform to multiple ODE - transform to algebraic equation 까지 진행한 다음에는 역행렬을 계산해야합니다. 이 글에서는 matrix의 형태에 따라 역행렬을 구하는 operation cost가 달라진다는 것을 보이려고 합니다. 참고 $\sum_{k=1}^{n}1=n$ $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left ( \frac{n(n+1)}{2}..