[선형대수] Eigenvalue decomposition 표기 헷갈리지 않는 법

 

eigenvalue decomposition을 하다보면 항상 $A=V\Lambda V^{-1}$인지 $A=V^{-1}\Lambda V$인지 혼동이 있을 수 있는데 간단하게 알아내는 방법을 적는다.

 

기본적으로 eigenvalue decomposition은

$Av=\lambda v$라는 식을 풀어서 $\lambda$와 nonzero vector $v$를 구한 것이다.

 

$A\in \mathbb{R}^{2\times 2}$라고 할 때

$V=\begin{bmatrix}v_{1} & v_{2} \end{bmatrix}$으로 구할 수 있다.

 

$Av$를 $v$가 여러 개일 때로 표현하면

$AV = A\begin{bmatrix}v_{1} & v_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Av_{1} & Av_{2} \end{bmatrix}$이 된다.

 

eigenvalue decomposition에 따라서 아래 식이 성립한다.

$\begin{bmatrix}Av_{1} & Av_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda_{1} v_{1} & \lambda_{2} v_{2} \end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}\lambda_{1} v_{1} & \lambda_{2} v_{2} \end{bmatrix}$을

$\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_{1}  & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{bmatrix}$와 $V$로 표현하려면

$V\Lambda$ 여야만 한다.

 

$V\Lambda = \begin{bmatrix}v_{1} & v_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1}  & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1} v_{1} & \lambda_{2} v_{2} \end{bmatrix}$

 

만약 $\Lambda V$라면 

$\begin{bmatrix}\lambda_{1}  & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda_{1} v_{11} & \lambda_{1} v_{12} \\ \lambda_{2}v_{21} & \lambda_{2}v_{22} \end{bmatrix}$

처럼 계산이 된다.

 

따라서 $Av=\lambda v$라는 사실만 알고 있으면 이 식에서 $AV$를 이끌어내고 이와 동일하게 하는 것이 $V\Lambda$임을 알면 된다.

 

$AV=V\Lambda \quad \Rightarrow A=V\Lambda V^{-1}$