[동역학] Lagrange's Equation (1)

 

동역학에서는 기본적으로 Newton's law를 이용해서 운동방정식을 유도한다. 이 방식은 한 물체에 대하여 작용하는 힘과 가속도 간의 연관성을 통해서 운동을 기술하는 것이다.

이렇게 운동방정식을 유도하지 않고 특정 경우에는 Lagrange's equation을 통해 운동을 기술하는 것이 더 나을 때가 있다.

그 상황을 위해 이 글을 정리하고자 한다.

 

참고문헌은 아래에 적어두었다.

 

Lagrange's Equation으로 바로 넘어가기 전에 알고 있어야하는 개념들이 있다.

 

1. Degree of freedom

 

시스템의 자유도(degree of freedom)은 시스템을 묘사하기 위해 필요한 coordinate의 수에, 그 coordinate로 기술한 constraints의 수를 뺀 것이다. 즉, constraint 없이 시스템의 운동을 묘사할 수 있는 coordinates의 수가 바로 자유도라고 볼 수 있다.

 

 

 

2. Generalized coordinates

 

시스템을 표현할 수 있는 모든 coordinates들의 set을 generalized coordindates의 한 예시로 볼 수는 있지만 나중에 진행되는 논의에서는 a set of independent generalized coordinates를 고른다. 이 set은 coordinates의 숫자가 degree of freedom가 일치하는 set이다.

 

generalized coordinates는

시스템의 자유도와 제한조건의 독립된 방정식 수의 합(the number of degrees of freedom + the number of independent equations of constraint)이다.

 

만약 제한 조건이 0이 되는 적절한 coordinates를 선정하면, 그 generalized coordinates는 시스템의 자유도만큼만 숫자를 갖는다.

이러한 generalized coordinate를 a set of independent generalized coordinate라고 한다.

 

또한 일반적으로 coordinates를 $x_{i}, \; i=1,...,k$으로 잡을 때 generalized coordinate를 $q_{i},\; i=1,...,n$이라면

 

$$\begin{align}&x_{1}=f_{1}(q_{1},...,g_{n},t)\\ &\vdots \\ & x_{k}=f_{n}(q_{1},...,q_{n},t) \end{align}$$

 

로 transformation할 수 있다.

 

또한 $x$에 대한 coordinates에서 constraint가 $l$개 있고, $q$에 대한 coordinates에서 constraint가 $m$개가 있으면

$k-l=n-m$이 성립한다. 즉, coordinates가 바뀐다고 해도 degree of freedom은 보존된다.

 

 

3. Constraints

 

constraints는 크게 두개로 나눌 수 있다.

 

Holonomic constraint vs. Nonholonomic constraint

 

Holonomic constraint는 coordinates들로 구성할 수 있는 일반적인 constraints를 말한다.

 

$\phi_j\left(q_1, q_2, \ldots, q_n, t\right)=0 \quad(j=1,2, \ldots, m)$

 

아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

이러한 constraints도 두 가지로 나눌 수 있다. 하나는 scleronomic constraint로, constraint가 시간에 대해 explicitly dependent하지 않는 경우를 말한다.

 

예를 들면 $\phi_{j}=q_{1}\cdot t=0$과 같이 시간에 대해 직접적으로 식에 들어가서 영향을 주는 경우를 말한다.

 

시간에 대해 explicitly dependent하면 rhenomic constraint이다.

 

그리고 꼭 위와 같이 equality constraint이지 않고 inequality constraint일 수도 있다.

 

Nonholonomic constraint는 시간 또는 coordinates에 대하여 differentials가 포함된 constraint를 말한다. 이러한 constraint는 differential이 있어도 적분이 불가능하다.

 

$\sum_{i=1}^n a_{j i} d q_i+a_{j t} d t=0 \quad(j=1,2, \ldots, m)$

 

적분가능한 식이라면 적분하여서 holonomic constraint로 표현할 수 있는 constraint는 제외한다.

 

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참고문헌

 

Principles of dynamics, Greenwood

An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics, Simon J.A. Malham