[수치해석] Numerical solution of ODE (3) Implicit Euler (Backward Euler)

이번에는 explicit euler 방법이 아닌 implicit euler 방법을 사용하고자 합니다.

 

# Notation 참고 
$x_{B}^{A}$ : $A$는 시간에서의 위치(Timesteps), $B$는 공간에서의 위치를 의미합니다. 

 

$y^{'}=f(y,t)$

model problem인 $y^{'}=\lambda y$을 implicit euler 방법으로 풀어보겠습니다.

 

$\frac{y^{n+1}-y^{n}}{\Delta t}=f(y^{n+1},t^{n+1})$ : implicit euler이므로 현재 y,t값이 아닌 미래의 값(n+1)을 사용합니다.

$\frac{y^{n+1}-y^{n}}{\Delta t}=\lambda y^{n+1} \Rightarrow y^{n+1}-\lambda \Delta t y^{n+1}=y^{n}$

$y^{n+1}=\frac{1}{1-\lambda \Delta t}y^{n}=\sigma y^{n}$

$y^{n}=\sigma^{n}y^{0}$

 

 

 

1) Accuracy

$\text{Implicit euler : }\sigma = \frac{1}{1-\lambda \Delta t}=1+\lambda \Delta t+\lambda^{2}\Delta t^{2}+\cdots$

$\text{Exact : }\sigma^{\lambda \Delta t}=1+\lambda \Delta t +\frac{1}{2}\lambda^{2}\Delta t^{2}+\cdots$

 

두 개를 비교하면 그 errors는 second order in a time step입니다. globally first order accuracy.

 

2) Stability

 

$\sigma = \frac{1}{1-\lambda \Delta t}=\frac{1}{1-\lambda_{R}\Delta t -i\lambda_{I}\Delta t}$

 

$|\sigma|=\left | \frac{1}{1-\lambda_{R}\Delta t -i\lambda_{I}\Delta t} \right |<1 \text{ for }\forall \lambda_{R}\leq 0$

 

앞서 explicit euler에서처럼 amplication factor가 1보다 작아야 stable solution을 얻을 수 있습니다.

 

위 조건에 맞는 영역은

MATLAB으로 구한 EE의 stability diagram

 

$\lambda_{R}h<0$일 때 implicit euler 방법을 쓰면 항상 solution이 stable하므로, implicit euler는 Absolutely stable(A-stable)입니다.

 

$\lambda_{R}h>0$인 영역은 원래 unstable system이므로 고려하지 않지만, 만약 unstable한 문제를 풀 때도 위 그림처럼 stable한 solution이 나온다면 문제가 될 수도 있습니다.

 

3) Phase error & amplitude error

 

이전 explicit euler때처럼 $\lambda = i\omega$일 때 phase error와 amplitude error를 알아보겠습니다.

 

 

$\text{Implicit euler : }\sigma = \frac{1}{1-i\omega \Delta t}=\frac{1+i\omega\Delta t}{1+\omega^{2}\Delta t^{2}}$

$|\sigma|^{2}=\frac{1}{1+\omega^{2}\Delta t^{2}}<1$

stability diagram을 통해 알 수 있듯이 pure imaginary에서 implicit euler는 decaying합니다.

 

또한 phase error = $\theta = \tan^{-1}\frac{Im(\sigma)}{Re(\sigma)}=\tan^{-1}\omega \Delta t=\omega\Delta t-\frac{(\omega \Delta t)^{3}}{3}+\cdots$

 

exact값은 $\omega \Delta t$이므로

$\text{Phase error }=\omega \Delta t-\theta = \frac{(\omega \Delta t)^{3}}{3}$

 

 

4) Implicit euler의 특징

 

larger memory space is needed

flexbility in time-step

nonlinear equation에 대해서 iteration이 필요함

 

 

5) Explicit euler와 비교

 

model problem에 대해서

$\text{exact : }y=y^{0}e^{\lambda t}=(e^{\lambda \Delta t})^{n}y^{0} \Rightarrow \sigma_{exact}=e^{\lambda \Delta t}$

 

$\text{explicit euler : }y=(1+\lambda \Delta t)^{n}y^{0} \Rightarrow \sigma_{ee}=1+\lambda \Delta t$

 

$\text{implicit euler : }y=\left (\frac{1}{1-\lambda \Delta t}\right)^{n}y^{0} \Rightarrow \sigma_{ie}=\frac{1}{1-\lambda \Delta t}$

 

둘은 same order of accuracy를 가졌지만 부호가 다릅니다.

 

implicit euler는 explicit euler와 다르게 A-stable이지만 실제 사용하기에는 accuracy order가 낮다는 단점을 가지고 있습니다.