[수학] Matrix Exponential 미분/적분

 

선형대수와 미분방정식에서 중요하게 쓰이는 것 중 하나는 exponential matrix이다.

 

$\dot{x}=Ax\text{, where }A\in \mathbb{R}^{n}$로 된 문제에서 A가 matrix이기 때문에 이에 대한 솔루션을 작성할 때

$x= e^{At}x_{0}$이다.

 

참고로 이 역시 A가 constant matrix이기 때문에 가능한 것이고, 상수가 아닌 시간에 따라 변하는 경우에는 다음과 같이 표현한다.

 

$x(t)=e^{\int_{0}^{t}A(s)ds}x(0)$

여기에서는 A가 상수인 경우만 생각하도록 한다.

$e^{At}$ 이와 같이 exponential의 지수로 matrix가 들어가는 것을 matrix exponential이라고 한다.

 

 

 

그러면 solution을 구할 때 $e^{At}$를 어떻게 풀어야하는가?

 

그런데 $e^{At}$를 단순하게 생각해서 계산할 수 없다.

$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}\cdots$

 

A가 nonsingular인 경우

$A=V \Lambda V^{-1}$ 와 같이 eigenvalue decomposition을 하고 위 식에 대입한다.

 

굳이 A라는 matrix를 두고 eigenvalue decomposition을 수행하는 이유는

diagonal matrix $\Lambda$의 유리한 성질 때문이다.

 

$e^{\Lambda}=\begin{bmatrix}e^{\lambda_{1}} & 0 & \cdots \\ 0 & e^{\lambda_{2}} & \cdots \\ \vdots & & \end{bmatrix}$

 

다음과 같이 diagonal term에만 exponential 값을 가진다.

이렇게 깔끔하게 표현하기 위해서 잠시 eigenvalue decomposition으로 변형하는 것이다.

$e^{At}=V\left( I + \Lambda t + \frac{1}{2}\Lambda^{2} t^{2} \right)V^{-1}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}$

다음과 같이 식을 구하면 훨씬 간단하게 표현할 수 있다.

 

이렇게 푸는 방식은 물리적으로 의미가 있으나 여기에서는 설명을 줄이고,

미분방정식을 풀 때 시간에 대해 적분해야하는 경우가 있어서 글을 쓰는 것이었다.

 

continuous system을 discretization할 때

Zero-Order Hold로 할 경우에는 다음 적분을 수행해야한다.

 

$x_{k+1}=e^{A(t_{k+1}-t_{k})}x_{k}+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}e^{A(t_{k+1}-\tau)} Bu(\tau) d\tau$

이 때 $u$는 constant라고 가정하기 때문에

 

$=e^{AT_{s}}x_{k}+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}e^{A(t_{k+1}-\tau)} B d\tau u$

로 만들 수 있다. 이 때 적분을 어떻게 수행하는가?

 

미분

 

$\displaystyle \frac{d}{dt}(e^{At}) = Ae^{At}$

 

 

적분

 

$\int_0^T e^{A t} d t=T\left(I+\frac{A T}{2 !}+\frac{(A T)^2}{3 !}+\cdots+\frac{(A T)^{n-1}}{n !}+\ldots\right)$

 

$A(\int_0^T e^{At}dt)+I = e^{AT}$

$\therefore \int_0^T e^{At}dt = A^{-1}(e^{AT}-I)$

라는 결과를 얻을 수 있다.

 

다만 이것도 A가 nonsingular일 때이고, singular일 때는 직접 적분을 수행하는 것이 더 빠르다.

 

A가 nonsingular일 때 푸는 방법 중에는

아래 참고문헌인 stackexchange에서 다음과 같이 설명하고 있다.

 

$A=U^{-1}\left(\begin{array}{ll}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right) U$와 같은 jordan form로 바꿔준 다음에 적분을 수행한다.

 

$\mathrm{e}^{t A}=U^{-1}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{t B} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{t C}\end{array}\right) U$

$\int_0^T \mathrm{e}^{t A} d t=U^{-1}\left(\begin{array}{cc}\int_0^T \mathrm{e}^{t B} d t & 0 \\ 0 & C^{-1}\left(\mathrm{e}^{T C}-I\right)\end{array}\right) U$

 

https://math.stackexchange.com/questions/658276/integral-of-matrix-exponential

Integral of matrix exponential