[고등자동제어] Stability in the sense of Lyapunov (1)

이번에는 stability에 대해 정리하겠습니다. continuous time에 대해서 먼저 하고 그 다음에는 discrete time에 대해서 하려고 합니다.

 

 

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1. Definition of equilibrium

 

nth order nonlinear time-varying continuous time system에서 input을 고려하지 않고 식을 쓰면 다음과 같습니다.

 

$\dot{x}=f(x,t)\text{ and }x(t_{0})=x_{0}$

* time-varying system이므로 관계식에 t가 들어가며, nonlinear이기 때문에 matrix로 표현하는 대신 f 함수를 사용했습니다.

 

 

이와 같은 시스템이 있을 때 평형 상태에 대해 이야기하면,

$\text{At equilibrium state }x_{e}$

$f(x_{e},t)=0\text{, for all t}$

 

이 말은 곧 $\dot{x}=0$이므로, equilibrium state에 도달하면 더이상 그 state에서 벗어나지 않고 가만히 있는다고 볼 수 있습니다.

그래서 $\dot{x}$을 0으로 만드는 $x=0$을 equilibrium state로 하겠습니다. 물론 $f(x_{e},t)$를 0으로 만드는 값이 여러 개일 수 있지만 모든 시스템에서 x=0이 equilbrium state이기 때문에 이 값을 가지고 논의하는 것이 일반적입니다.

 

 

하지만 equilibruim state와 stability를 동일하게 봐서는 안됩니다.

stability는 disturbance가 있을 때 다시 equilibrium state로 돌아가는지에 대한 여부입니다.

 

예를 들면

출처 : https://www.comsol.com/blogs/buckling-structures-suddenly-collapse/

위의 그림에서 빨간 공도, 녹색 공도 모두 평형 상태에 있는 것이 맞습니다. 하지만 빨간 공을 살짝만 건드리면(disturbance) 공은 평형 상태에서 벗어나 움직일 것입니다. 반면 녹색 공은 살짝 건드렸을 때 다시 평형 상태도 돌아올 것입니다.

 

 

linear system의 경우

$\dot{x}=A(t)x\text{ and }x(t_{0})=x_{0}$

일 때 x=0을 equilbrium state가 됩니다. A(t)가 singular하면 $dot{x}$를 0으로 만드는 x값이 여러 개이고, 즉 equilibrium state가 여러 개입니다.

 

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2. Stability in the sense of Lyapunov

 

그 다음으로는 Lyapunov 관점에서의 stability에 대해서 알려드리겠습니다.

 

$\text{The equilibrium state 0 of }\dot{x}=f(x,t)\text{ is stable in the sense of Lyapunov if}$
$\text{for every }\epsilon>0\text{, there exists a }\delta(\epsilon, t_{0})>0\text{ such that }|x(t_{0})|<\delta\Rightarrow |x(t)|<\epsilon, \forall t\geq t_{0}$

 

글만 봤을 때는 상당히 복잡하게 느껴집니다.

간단하게 말하면, stable in the sense of Lyapunov는 $t_{0}$일 때 $x_{0}$값이 특정 범위 이내이면, 이후에 있는 모든 x값은 특정 범위 안에 있는다는 뜻입니다.

 

숫자로 말하자면 $x_{0}$가 1보다 작으면, 그 이후에 있을 state x는 항상 5보다 작을 것이라고 생각할 수 있습니다.

 

벡터로 생각하면, 위의 그림과 같이 $x(t_{0})$가 $\delta$안에 있을 때 $x(t)<\epsilon$인 경우가 stable in the sense of Lyapunov입니다.

 

 

이제 stable 중에서도 다양한 케이스들을 보겠습니다.

 

1) uniformly stable

 

uniform하다는 것은 시간에 관계가 없다는 뜻입니다.

 

$\text{The equilibrium state 0 of }\dot{x}=f(x,t)\text{ is uniformly stable in the sense of Lyapunov if}$
$\text{for every }\epsilon>0\text{, there exists a }\delta(\epsilon)>0\text{ such that }|x(t_{0})|<\delta\Rightarrow |x(t)|<\epsilon, \forall t\geq t_{0}$

 

위의 내용과 거의 차이가 없어보이지만, 특징적인 것이 있습니다. $\delta$가 $t_{0}$의 함수가 아니라는 점입니다. 그전에 있었던 $\delta$는 $t_{0}$에 따라서 그 값이 달라졌습니다. 1초에서 stable하기 위한 범위, 2초일 때 stable하기 위한 범위가 저마다 달랐던 것입니다. 하지만 uniformly stable은 시간에 관계없이 특정 범위 안에만 들면 그 이후의 state는 발산하지 않는다는 것을 의미합니다.

 

* autonomous system $\dot{x}=f(x)$는 시간에 무관한 system이므로 stability는 항상 uniform stability입니다.

 

 

 

2) asymptotically stable

 

asymptotically는 점근적으로, 라는 뜻이 있습니다. 따라서 asymptotically stable은 점점 가까워지는 stable 상태라는 것을 짐작해볼 수 있습니다.

 

$\text{The equilibrium state 0 of }\dot{x}=f(x,t)\text{ is asymptotically stable if}$
$\text{1. it is stable in the sense of Lyapunov}$
$\text{2. there exists a }\delta_{1}(t_{0})>0\text{ such that }|x(t_{0})|<\delta_{1}\Rightarrow \underset{t\rightarrow \infty}{\lim}x(t)=0$

 

 

위의 말을 해석하자면, Lyapunov 관점에서의 stable도 만족하면서 특정 범위 안에 든 state는 나중에 0으로 수렴한다는 뜻입니다. 두번째 조건만 보면 이미 Lyapunov 관점의 stable을 만족하는 게 아닌가 싶지만, $t_{0}$ 이 후에 갑자기 state가 급격히 커졌다가(발산하듯) 나중에 0으로 수렴하는 것을 막기 위해 존재하는 것이 첫번째 조건입니다.

 

 

 

3) uniform asymptotic stable

 

1)과 2)를 합친 개념

 

$\text{The equilibrium state 0 of }\dot{x}=f(x,t)\text{ is uniformly asymptotically stable if}$
$\text{1. it is uniformly stable in the sense of Lyapunov}$
$\text{2. there exists a }\delta_{1}>0\text{ such that }|x(t_{0})|<\delta_{1}\Rightarrow \underset{t\rightarrow \infty}{\lim}x(t)=0$

 

위에서 uniformly stable을 다룬 것처럼 시간에 관계없이 특정 범위 안에 들 경우에 asymptotically stable한 경우에 uniformly asymptotically stable합니다.

 

 

 

4) globally asymptotic stable

 

$\text{The equilibrium state 0 of }\dot{x}=f(x,t)\text{ is globally asymptotically stable if}$
$\text{it is asymptotically stable for any }\delta_{1}>0 \Rightarrow \delta_{1}\text{ is arbitrarily large}$

 

지금까지 지속적으로 난 $\delta$나 $\epsilon$은 보통 아주 작은 값을 의미합니다. 하지만 globally asymptotic stable하다는 것은 원점에서 멀리 떨어진 곳에서 시작하더라도 0으로 수렴할 수 있음을 말합니다.

 

 

5) uniformly exponentially stable

 

$\text{The equilibrium state 0 of }\dot{x}=f(x,t)\text{ is uniformly exponentially stable if}$
$\text{1. it is stable in the sense of Lyapunov}$
$\text{2. there exists a }\delta>0\text{ and constants }M<\infty\text{ and }\alpha>0$
$\text{ such that }|x(t)|\leq e^{-\alpha(t-t_{0})}M|x(t_{0})|\text{ for all }|x(t_{0})|<\delta$

 

exponentially stable한 경우,

처음 state가 특정 범위($\delta$) 안에 들었을 경우 그 값($x(t_{0})$)에서 시작해서 convergence rate가 $\alpha$보다 더 빠르게 수렴해야 합니다. M을 곱해준 것은 무한보다 작은 값 선에서 자유도를 준 것으로 보인다. 무한이 아닌 이상 exponential으로 인해 수렴할 것이기 때문입니다.

 

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다음에는 stability of LTI system, 그리고 Routh-Hurwitz criterion에 대해서 다루겠습니다.