[항공우주] Lift coefficient와 Mach number/Pressure coefficient의 관계

참고자료 : introduction to flight

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1. Pressure coefficient

 

Pressure coefficient의 정의는 다음과 같습니다.

$C_{p} \equiv \frac{p-p_{\infty}}{q_{\infty}}=\frac{p-p_{\infty}}{\frac{1}{2}\rho_{\infty}V_{\infty}^{2}}$

 

$p_{\infty}$는 freestream pressure입니다.

 

이 압력 계수를 airfoil의 위치에 따른 분포로도 나타낼 수 있습니다.

이 그래프에서 윗부분(양의 값을 갖는 부분)은 airfoil의 upper surface, 아래 부분(음의 값을 갖는 부분)은 lower surface부분이라고 볼 수 있습니다.

 

압력 계수는 마하 수와 연관이 있습니다.

 

마하 수가 0.3보다 작을 때는 $C_{p}$가 일정하지만 0.3을 넘으면 급격하게 증가하게 됩니다. (여기서 $C_{p}$는 절댓값으로 나온 것이므로, 음의 값일 때는 마하 수가 커질 수록 더 급격하게 큰 음의 값을 가집니다.)

마하 수가 0.3에서 0.7 사이일 때 $C_{p}$ 값을 추정할 수 있는 근사식이 존재합니다.

 

$\text{Prandtl-Glauert rule : }C_{p}=\frac{C_{p,0}}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}}$

 

이 식에서 $C_{p,0}$는 마하 수가 0일 때 구한 압력 계수입니다. 이렇게 compressibility를 고려하여 압력 계수를 구할 수 있도록 하는 공식을 compressibility corrections라고 합니다. (for subsonic speeds)

 

마하 수가 1에 가까워지면 위 그래프나, Prandtl-Glauert rule에 따라서 압력 계수가 무한으로 가므로, 위 식이나 그래프는 마하 수가 1에 가까운 경우에는 적용하지 않습니다.

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2. Lift coefficient와 Pressure coefficient의 관계 (+ Mach number와의 관계)

 

 

lift는 위 표면과 아래 표면의 압력 차로 발생하기 때문에 자연스럽게 양력 계수와 압력 계수가 서로 연관되어있을 것이라고 추측해볼 수 있습니다.

 

실제로 받음각이 0이라고 가정하고 미소길이에 대한 압력을 적분해서 양력을 구할 수 있습니다. (자세한 식 유도 과정은 참고자료를 보시기 바랍니다.)

$L=\int_{LE}^{TE}p_{l}\cos\theta ds - \int_{LE}^{TE}p_{u}\cos\theta ds$

$p_{l}$은 lower surface의 압력, $p_{u}$는 upper surface의 압력입니다.

즉 위 표면에 작용하는 압력은 음의 방향으로 적분하고, 아래 표면에 작용하는 압력은 양의 방향으로 적분하여 총 합은 양력만 남습니다.

 

이 식을 풀어쓰면

 

$c_{l}=\frac{1}{c}\int_{0}^{c}(C_{p,l}-C_{p,u})dx$

 

(책에는 안 나오지만 식 전개과정 상 $C_{L}=\frac{1}{S}\int_{0}^{c}(C_{p,l}-C_{p,u})dx$이라고 볼 수 있다)

 

이와 같이 양력 계수와 압력 계수의 관계식을 알아냈습니다.

이 식에서 더 나아가서 압축성을 고려한 결과를 구할 수 있습니다. 만약 마하 수 0일 때(압축성어 전혀 없을 때) 압력 계수를 알고 있고 마하 수를 알고 있다면, 위에 있는 압력 계수와 마하 수의 관계식을 이용해서 대입합니다.

 

$c_{l}=\frac{1}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}}\frac{1}{c}\int_{0}^{c}(C_{p,l}-C_{p,u})_{0}dx$

$\therefore c_{l}=\frac{c_{l,0}}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}}$

 

NACA의 airfoil data는 압축성이 없는 경우에서 구한 양력 계수이므로 위 식을 이용하면 압축성까지 고려하여 양력 계수를 구할 수 있습니다. 물론 이 경우에도 subsonic일 때이고 마하 수가 1에 가까워질 때는 쓸 수 없습니다.