[비행동역학] Lateral dynamics에 대한 이해

Lateral dynamics가 까다로운 이유는 Roll과 Yaw의 coupling 때문이다.

서로가 영향을 주기 때문에 둘 다 고려해서 제어기를 설계해야하는 어려움이 있다.

이 글에서는 lateral dynamics의 stability와 roll, yaw coupling, 그리고 sideslip의 영향에 대해 다룬다.

이를 통해 lateral dynamics의 전체적인 그림을 이해하고자 한다.

 

 

1. Stability derivatives

1.1. Roll and Yaw

 

기본적인 lateral dynamics의 stability와 stability derivatives의 관계를 본다.

	Rolling moment (L)	Yawing moment (N)
roll rate (p)	$L_{p}<0$	$N_{p} ?$
yaw rate (r)	$L_{r}>0$	$N_{r}<0$

 

Rolling moment와 Yawing moment는 roll rate, yaw rate가 존재할 때 발생하게 된다. 이 때, roll rate에 대한 rolling moment, yaw rate에 대한 yawing moment는 각각 damping의 역할을 한다. 이게 무슨 말이냐하면, 비행기가 양의 roll rate를 갖게 돼서 양의 x축 방향 기준으로 회전을 하면 rolling moment가 반대로 발생하여 다시 제자리로 돌아가게 damping을 한다는 뜻이다.

마찬가지로 yawing rate가 양의 방향으로 발생해서 오른쪽으로 돈다면, 이를 줄여주는 음의 방향의 yawing moment가 발생한다. 이 조건을 만족하지 못한다면 양의 roll rate에 대해 보상하지 못하고 계속 기울여져 위험하게 된다. yaw rate도 마찬가지다.

따라서 $L_{p}, N_{r}$은 stable system을 위하여 음의 값으로 설계한다. (stability derivative는 비행기의 configuration과 비행 조건 등에 따라 결정)

 

$L_{r}$의 경우에는 양의 yaw rate가 발생하면 오른쪽 날개는 후퇴하고 왼쪽 날개는 전진하면서 양력 차이가 발생한다. 왼쪽 날개의 양력이 더 크게 돼서 rolling moment는 양의 방향으로 생긴다.

 

마지막으로 $N_{p}$는 adverse yaw(역요) 현상과 관련이 있는 derivative이다. 일반적으로는 음의 값을 갖는다. 즉, 양의 roll rate를 발생시키면 보통은 오른쪽으로 선회를 하고자 하는 것인데, yawing moment는 반대로 왼쪽 방향으로 nose를 돌리는 현상이 생긴다. 이 adverse yaw를 줄이기 위해서 제어 방법이나 비행기 설계 자체를 신경쓰는 방법들이 고안되어 있다.

 

1.2 Sideslip angle

 

또한 sideslip angle에 대한 rolling, yawing moment도 stability에 중요한 요소이다.

	Rolling moment	Yawing moment
sideslip angle	$L_{\beta}<0$	$N_{\beta}>0$ (weathercock stability)

 

sideslip angle에 대해 yawing moment는 양의 방향으로 발생한다. 즉, sideslip이 발생하는 방향으로 비행기의 nose가 움직인다고 보면 된다. 반대일 경우에는 sideslip이 계속 커지게 된다. 이것을 directional stability라고 부르기도 한다. 이 directional stability에는 vertical tail이 큰 영향을 준다. 물론 wing sweep angle과 fuselage의 영향도 존재한다. (자세한 내용은 stability coefficients 유도를 봐야한다.)

 

또한 sideslip에 대한 rolling moment 역시 균형을 잡는데 중요하다. (lateral stability)

roll에 대해 양의 disturbance가 발생할 경우 동체가 기울어지면서 동체의 오른쪽 방향으로 side force가 생기게 된다. 이 side force가 양의 sideslip motion을 유발하고 $L_{\beta}<0$일 경우 rolling moment가 음으로 작용하면서 다시 비행기가 균형을 맞추게 된다. $L_{beta}$에는 dihedral angle, fuselage, wing sweep, vertical tail 등이 영향을 준다.

 

 

 

2. Lateral dynamics

이제 lateral dynamics의 stability에 대해 다루려고 한다. 그 전에는 개별 stability derivatives가 시스템 안정을 위해 어떤 값을 가져야하는지 이야기했다면 지금은 그 값이 실제 운동에 어떻게 작용하는지 보는 것이다.

 

lateral dynamics는 크게 3개의 mode로 나눌 수 있다. 이는 Lateral dynamics 식을 알면 더 쉽게 이해할 수 있다. (지금은 포스팅을 안 했으므로 일단 식 제시 대신 의미 상으로만 적는다.)

 

Rolling mode : highly convergent motion
Spiral mode : slowly convergent or divergent motion
Dutch roll mode : A lightly damped oscillatroy motion having a low frequency

 

Rolling mode의 경우에는 위에서 봤던 rolling에 대한 damping $L_{p}$에 의해서 결정되고 $L_{p}$가 충분히 큰 음수라면 문제가 되지 않는다. 비행기가 작은 양의 roll rate가 발생하더라도 다시 돌아온다.

 

Spiral mode는 아주 천천히 수렴하거나 발산하는 운동이다. 기체마다 수렴할지 발산할지 다르기 때문에 어떻다고 말할 수는 없지만, 보통은 아주 느리게 일어나는 운동이어서 파일럿이 잘 제어할 수 있다고 알려져있다.

예를 들어 작은 roll angle이 발생했다고 하면 이로 인해 sideslip angle이 발생한다. $N_{\beta}>0$라면 이 sideslip angle로 인해 양의 yawing moment가 발생하고 이 yaw rate 때문에 양의 roll rate가 발생하여 상황이 악화될 수 있다.

 

여기서 중요한 것은 $L_{\beta}$와 $N_{\beta}$의 균형이다.

 

 

 

spiral mode의 unstable한 경우는 보통 2가지 경우인데 directional divergence와 spiral divergence이다. (위 그림 참고)

directional stability를 의미하는 $N_{\beta}>0$가 충분하지 않으면 sideslip이 발생했을 때 비행기 동체가 그 방향으로 제대로 돌아가지 못해 원했던 방향과 다른 방향으로 비행하는 것이다.

spiral stability는 $N_{\beta}>0$는 충분히 크지만 $L_{\beta}<0$의 절댓값이 작을 경우에는 위에 언급한 것처럼 작은 roll rate에 sideslip angle이 발생하고 이로 인해 yawing moment가 발생하며 이 yaw rate로 roll이 계속 양의 방향으로 커지게 된다. 만약 $L_{\beta}$의 절댓값이 충분히 크면 음의 방향으로 rolling moment가 발생하기 때문에 균형을 맞출 수 있다. 그러나 $L_{\beta}$의 절댓값이 충분히 크지 않아 비행기의 bank angle이 계속 커지고 비행기는 점점 타이트한 나선형태로 돌게 된다.

 

사실 이 내용은 수식으로도 확인할 수 있다.

 

$L_{r}>0,N_{r}<0$일 때 spiral mode의 eigenvalue는 다음과 같다.

$\lambda_{spiral}=\frac{-L_{r}N_{\beta}+L_{\beta}N_{r}}{L_{\beta}}$

 

stability를 위해 $L_{\beta}<0, N_{\beta}>0$를 만족한다.

그러면 $-L_{r}N_{\beta}+L_{\beta}N_{r}>0$이어야 eigenvalue가 음수가 되어 spiral mode가 stable해진다.

 

$L_{\beta}N_{r}>L_{r}N_{\beta}$

부호	negative	negative	positive	positive
수식	$L_{\beta} \times$	$N_{r} >$	$L_{r}  \times$	$N_{\beta}$

헷갈리지 않게 하려면 다음과 같이 나타냈다. 우변, 좌변 모두 양의 값이기 때문에 크기 비교가 중요한 상황이다.

위의 상황과 대입해서 보면 $L_{\beta}$가 충분히 음의 방향으로 크지 않고, $N_{\beta}$가 충분히 양의 방향으로 크다면 위의 부등호가 성립하지 않을 수 있다. 또는 $N_{\beta}$가 너무 작으면 위의 부호 자체는 성립하겠지만, directional stability가 약해져서 발산할 수 있다.

 

이와 같이 내용을 연관지어볼 수 있다.

 

3. Roll과 Yaw의 stability, damping을 바꿀 때 고려해야할 것

 

roll, yaw의 stability, damping을 바꾸는 것이 어떤 영향을 주는가?

 

	Stability	Damping
Roll	Decrease dutch roll damping Increase spiral stability	Increase dutch roll damping Decrease spiral stability
Yaw	Increase dutch roll damping Decrease spiral stability	Increase dutch roll damping Increase spiral stability

왼쪽 위 칸은 Roll stability를 증가시킬 때, dutch roll mode와 spiral mode가 어떤 영향을 받는지 나타낸 것이다. roll stability에 직접적으로 연관 있는 것은 $L_{\beta}(\text{ or }C_{l_{\beta}})$이고 이 값의 절댓값을 키우는 것으로 볼 수 있다.

왼쪽 아래 칸은 Yaw stability를 증가시킬 때, 즉, $N_{\beta}$, directional stability를 키울 때 어떻게 되는지 나타낸 것이다.

오른쪽 위 칸은 roll damping을 증가시킬 때(보통 $L_{p}$ 절댓값의 증가) dutch roll과 spiral이 어떻게 바뀌는지 나타낸 것이다. 보통은 roll이 독립적으로 roll mode로 분석하기 때문에 다른 mode에 어떤 영향을 주는지 잘

오른쪽 아래 칸은 yaw damping을 증가시킬 때(보통 $N_{r}$ 절댓값의 증가) dutch roll과 spiral의 반응이다.

 

yaw damping을 증가시킬 때 dutch roll과 spiral mode 둘 다 이득이 되므로 yaw damping을 잘 설계하는 것이 유리하다. 다른 것들은 보통 dutch roll과 spiral mode를 악화시키기 때문이다.

 

spiral mode의 stability를 위해서는 tail이 작아야하고, dutch roll mode의 stability를 위해서는 tail이 커야한다는 점에서 둘의 stability는 상충하는 부분이 있다. 따라서 dutch roll과 spiral mode 사이에 균형이 필요하다.