[미분방정식] Boundary condition 종류

기계진동학에서 문제를 풀다보면 보통 미분방정식 형태로 많이 나온다. 이 미분방정식은 그냥 풀 수 있는 건 아니고 boundary condition이 주어져야 풀 수 있다.

 

 

 

대표적인 boundary condition

 

1) Dirichlet boundary condition

 

boundary condition 중에 종속 변수의 0차 미분에 대한 condition이다.

예시를 보면서 이해해보자.

 

Example)

 

$u_{t t}-c^{2} u_{x x}=0$ for $0<x<l$

이 방정식은 1차원 2차 편미분 방정식인 라플라스 방정식이므로 initial condition 2개, boundary condition 2개가 필요하다.

다음과 같은 라플라스 방정식에서 조건을 다음과 같이 줄 수 있다.

 

$u(0, t)=0=u(l, t)$

 

지금 보면, t에 관계 없이 공간에 대한 boundary condition으로 $x=0,l$일 때 종속변수 $u$에 대한 condition을 주었다.

 

2) Neumann boundary condition

 

boundary condition 중에 종속 변수의 1차 미분에 대한 condition이다.

 

Example)

 

다음과 같은 2차원 heat equation의 경우

$u_{t}-\kappa\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0$ for $0<x<l, 0<y<l, t>0$

 

x와 y에 대해 각각 2개의 boundary condition이 필요하다.

이 때

$u_{x}(0, y, t)=0=u_{x}(l, y, t) \quad, \quad u_{y}(x, 0, t)=0=u_{y}(x, l, t)$

 

다음과 같이 x와 y에 대한 1차 미분에 대해서 2개씩 boundary condition을 가진다.

 

3) Robin boundary condition

 

Robin boundary condition은 Neumann condition의 일반화된 버전이다.

 

$u_{x}(0, t)-a_{0} u(0, t)=0=u_{x}(l, t)+ a_{l} u(l, t)$

 

앞에 붙은 $ a_{0},a_{l}$은 상수이다. 이 상수를 보면 왜 이 조건이 Neumann의 일반화 버전인지 알 수 있다.

$a_{0}=a_{l}=0$이면 사실 상 Neumann boundary condition과 형태가 동일해지기 때문이다.

 

위의 condition은 diffusion 또는 convection equation에서 자주 쓰인다고 한다.

 

 

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Condition 예시 - Free vibration of shaft

 

기계공학에서 나오는 대표적인 미분방정식 중 하나인 free vibration of shaft을 보면서 위의 condition이 적용된 예시를 본다.

 

$c^{2} \frac{\partial^{2} \theta}{\partial x^{2}}(x, t)=\frac{\partial^{2} \theta}{\partial t^{2}}(x, t)$

위 방정식에서 x는 공간에 대한 변수, t는 시간에 대한 변수이고 $\theta$는 변위를 의미한다.

이 미분방정식을 풀기 위해서는 몇 개의 condition이 필요할까?

 

시간에 대한 2차 미분이므로, initial condition 2개, boundary condition이 2개가 필요하다.

 

 

이 때 구속조건은 다음과 같이 주어질 수 있다.

Rao의 mechanical vibration 책을 보면 다음과 같은 그림을 찾을 수 있다.

 

맨 위처럼 구속조건이 있는 경우는 0차 미분, 1차 미분 둘 다 있는 경우이다.

두 번째로 양 끝이 free인 경우에는 Neumann boundary condition이 적용된다.

마지막으로는 양 끝이 고정된 경우에는 Dirichlet boundary condition이 적용된다.

 

 

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boundary condition 중에 Cauchy boundary condition도 있고 더 주어져있다.

궁금하면 

https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Boundary_conditions

Category:Boundary conditions - Wikipedia

이 쪽으로 들어간다.

 

아래는 Cauchy boundary condition이다. 1차 미분과 0차 미분 모두 포함하는 경우를 의미한다.