[미분방정식] 미분방정식 답을 간단하게 알고 싶을 때 사용하는 방법

 

역학 관련 분야에서는 미분방정식이 자주 쓰이는데 이런 미분방정식을 푸는 방법은 미분방정식 수업에서 배웠을 것이다.

물론 쉬운 미분방정식은 푸는 방법이 바로 생각날 수도 있지만 그렇지 않을 때 간단하게 답을 체크하는 방법이 있다.

 

 

1. 울프람알파 사용

공대생들은 대부분 아는 울프람알파(wolfram alpha) 사이트에서 식을 검색해보는 것이다.

 

https://www.wolframalpha.com/

Wolfram|Alpha: Making the world’s knowledge computable

 

울프람 알파의 장점은 꼭 숫자가 아니더라도 문자로 된 식도 풀 수 있다는 점이다.

MATLAB이라는 프로그램에서도 이렇게 미분방정식을 풀 수 있는 기능이 있지만 MATLAB 가격이 만만치 않기도 하고 사용법을 전혀 모르는 사람에게는 장벽이 있을 수 있어서 간단한 식은 울프람 알파를 쓰는 것이 더 효율적이다.

 

 

다음과 같이 식을 풀어준다.

 

 

그런데 가끔 평범한 미분방정식도 잘 못 푸는 경우가 있었다. 아래의 식처럼 exponential이 들어간 미분방정식은 울프람 알파에서는 잘 못 풀었다.

$\dot{x}(t)=-cx(t) + e^{ct}$

 

이럴 때는 laplace transform 후 그 결과로 나온 식을 inverse laplace transform을 통해서 푸는 방법도 있다.

 

2. Laplace transform으로 식을 정리하고 다시 inverse laplace transform

 

Laplace transform table 또는 울프람 알파에서 laplace transform을 검색하면

내가 가지고 있는 식을 laplace transform으로 바꿀 수 있다.

 

$\dot{x}(t)=-cx(t) + e^{ct}$

$sX(s) = -cX(s) + \frac{1}{s-c}$

$(s+c)X(s) = \frac{1}{s-c}$

$X(s) = \frac{1}{(s+c)(s-c)}$

 

이렇게 해서 $\frac{1}{(s+c)(s-c)}$를 inverse laplace transform한다.

 

 

다음과 같이 문자 $c$가 포함된 결과를 얻을 수 있다.

 

---

뭐든 제일 좋은 방법은 직접 풀어보는 것이지만 자신이 직접 푼 답이 맞는지 체크하기 위해서 빨리 풀 수 있는 방법 역시 알아두면 편하다.