[수치해석] Partial Differential Equation (1) semi-discretization

 

PDE는 물리적 관점 또는 수학적 관점에서 분류할 수 있다.

 

1. Classification of PDEs

 

첫 번째로 물리적 관점에서 봤을 때 Equilibrium 

 

1) Equilibrium problem

 

다음과 같은 steady state를 푸는 문제. 이를 Elliptic PDEs라고 한다.

Laplace equation : $\nabla^2 u = 0$

Poisson equation : $\nabla^2 u = \rho$

 

2) Propagation (marching) problem

 

Initial value problem 또는 Boundary value problem

transient process를 다룬다.

 

parabolic, hyperbolic PDEs가 다음에 해당한다.

 

 

수학적 관점에서는 hyperbolic, parabolic, elliptic PDEs로 분류할 수 있다.

$$au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}=f$$

 

$a,b,c,f$에 따라 달라진다.

 

$b^2-4ac > 0$이면 hyperbolic PDE

$b^2-4ac = 0$이면 parabolic PDE

$b^2-4ac<0$이면 elliptic PDE

 

$$\frac{\partial u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f$$

$$au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}=f$$

관점에서 봤을 때 $b^2-4ac=0+4a^2>0$ : hyperbolic eqn.

 

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

$b^2-4ac = 0 - 4\alpha \cdot 0 =0$ parabolic eqn.

 

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$

$b^2-4ac = 0-4\cdot 1\cdot 1=-4 < 0$ elliptic eqn.

 

 

2. Semi-discretization

.

PDE를 풀기 위해서 PDE를 a set of ODEs로 바꿔주는 과정을 거쳐야 한다.

 

다음과 같은 parabolic equation이 있다고 하자.

$$\frac{\partial \phi}{\partial t } = \alpha \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$

I.C. : $\phi (x,0)=f$

B.C. : $\phi (0,t)=0, \; \phi (L,t)=0$

 

공간에 대해서 discretization을 한다.

 

$$
\frac{\partial \phi_j}{\partial t} = \alpha \left[ \frac{\phi_{j+1} - 2\phi_j + \phi_{j-1}}{\Delta x^2} \right] + \theta(\Delta x^2)
$$

 

* $j = 1$:

$$
\frac{\partial \phi_1}{\partial t} = \frac{\alpha}{\Delta x^2} \phi_0 - \frac{2\alpha}{\Delta x^2} \phi_1 + \frac{\alpha}{\Delta x^2} \phi_2
$$

* $j = 2$:

$$
\frac{\partial \phi_2}{\partial t} = \frac{\alpha}{\Delta x^2} \phi_1 - \frac{2\alpha}{\Delta x^2} \phi_2 + \frac{\alpha}{\Delta x^2} \phi_3
$$

* $j = N-1$:

$$
\frac{\partial \phi_{N-1}}{\partial t} = \frac{\alpha}{\Delta x^2} \phi_{N-2} - \frac{2\alpha}{\Delta x^2} \phi_{N-1} + \frac{\alpha}{\Delta x^2} \phi_N
$$

 

이를 행렬형태로 바꾸면 다음과 같다.

 

$$
\frac{\partial}{\partial t}
\begin{bmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2 \\
\vdots \\
\phi_{N-1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{-2\alpha}{\Delta x^2} & \frac{\alpha}{\Delta x^2} & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{\alpha}{\Delta x^2} & \frac{-2\alpha}{\Delta x^2} & \frac{\alpha}{\Delta x^2} & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & \frac{\alpha}{\Delta x^2} & \frac{-2\alpha}{\Delta x^2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_1 \\
\phi_2 \\
\vdots \\
\phi_{N-1}
\end{bmatrix}
$$

 

matrix는 $(N-1)\times (N-1)$ Tri-Dialgonal matrix이므로 빠르게 계산할 수 있다.

 

$$\frac{d}{dt}\Phi = A\Phi $$

$A = \frac{\alpha}{\Delta x^2 }B[1, -2, 1]$로 표현할 수 있다.

여기서 표기한 $B$는 Bandwidth가 $[1, -2, 1]$로 표현되는 것을 말한다. 위의 matrix에서 다 diagonal term이 $\frac{\alpha}{\Delta x^2}, \frac{-2\alpha}{\Delta x^2}, \frac{\alpha}{\Delta x^2} $이기 때문이다.

 

$A=B[a,b,c]^{n\times n}$일 때

$\lambda_j=b+2\sqrt{ac}\cdot \cos\alpha_j \text{  where  }\alpha_j =\frac{j\pi }{n+1},\; j=1,2,\ldots,n$

로 이미 알려진 바 있다. (Ref. W-C Wueh Applied Mathematics E-Notes (2005))

 

$\frac{d}{dt}\underline{z} = \Lambda \underline{z}$에서

$$\lambda_j = (-2+2\sqrt{1}\cos{\frac{j\pi}{N}})\frac{\alpha}{\Delta x^2}$$

 

$$
\cos \frac{\pi}{N} = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{N} \right)^2 + \cdots
$$

$$
\lambda_1 = \left( -2 + 2\left(1 - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{N} \right)^2 \right) \right) \frac{\alpha}{\Delta x^2}
= - \frac{\pi^2 \alpha}{N^2 \Delta x^2}
$$

$$
\lambda_{N-1} = \left( -2 + 2\cos \left( \frac{N-1}{N} \pi \right) \right) \frac{\alpha}{\Delta x^2}
\approx \left( -2 + 2\cos \pi \right) \frac{\alpha}{\Delta x^2}
= -\frac{4\alpha}{\Delta x^2}
$$

 

 

$\lambda_{i}$를 알고 있기 때문에 대략적으로 condition number를 계산하면 

 

$$
\kappa(A) \approx \frac{4N^2}{\pi^2} \quad \text{for large } N \Rightarrow A \text{ becomes stiff.}
$$

 

explicit scheme을 쓰면 timestep이 작아야 한다. 공간에 대한 grid N개를 늘릴 수록 A matrix가 stiff해지기 때문에 explicit scheme의 stability를 확인해봐야 한다.

 

 

다음 글에서는 stability를 어떻게 분석하는지에 대해 다룬다.