[수치해석] Partial Differential Equation (3) Von Neumann Stability Analysis

 

계속해서 stability를 분석하는 방법에 대해 다루고 있다.

 

이전 글 : 

https://normal-engineer.tistory.com/511

[수치해석] Partial Differential Equation (1)

 

https://normal-engineer.tistory.com/512

[수치해석] Partial Differential Equation (2) Matrix stability analysis

 

 

1. Formulation

 

$$
\frac{\partial \phi}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \quad \leftarrow \text{2CD}
$$

 

 

2. Semi-discretization

$$
\frac{\partial \phi_j}{\partial t} = \alpha \frac{\phi_{j+1} - 2\phi_j + \phi_{j-1}}{\Delta x^2}
$$

 

 

3. Explicit Euler (EE) 방법 적용

 

$$
\frac{\phi_j^{n+1} - \phi_j^n}{\Delta t} = \alpha \frac{\phi_{j+1}^n - 2\phi_j^n + \phi_{j-1}^n}{\Delta x^2}
$$

 

여기까지는 지금 다뤘던 내용과 동일하다. 여기에서 stability 분석을 위해 해의 형태를 가정하고 이를 대입해서 결과를 확인한다.

 

4. 해의 형태 가정

 

$$
\phi_j^n = \sigma^n(t) e^{ikx_j}, \quad x_{j+1} = x_j + \Delta x
$$

 

양변에 대입하면:

$$
\frac{\sigma^{n+1} e^{ikx_j} - \sigma^n e^{ikx_j}}{\Delta t}
= \frac{\alpha}{\Delta x^2}
\left[ \sigma^n e^{ik(x_j + \Delta x)} - 2 \sigma^n e^{ikx_j} + \sigma^n e^{ik(x_j - \Delta x)} \right]
$$

 

정리하면

 

$$
\frac{\sigma - 1}{\Delta t} = \frac{\alpha}{\Delta x^2} 
\left[ e^{ik\Delta x} - 2 + e^{-ik\Delta x} \right]
= \frac{\alpha}{\Delta x^2} \left[ 2\cos(k \Delta x) - 2 \right]
$$ 

 

 

5. 증폭 인자 (Amplification Factor)

 

이를 통해 간접적으로 amplication factor인 $\sigma$ 값을 구할 수 있다.

$$
|\sigma| = \left| 1 + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \left[ 2\cos(k\Delta x) - 2 \right] \right| \leq 1
$$

해의 안정성을 위해서 $\sigma$는 1보다 작아야 한다. 1보다 크면 n배 곱해지며 증폭되기 때문이다.

따라서 안정성을 위한 조건은 다음과 같다.

 

가장 최악의 시나리오를 가정했을 때

$\left| 1-\frac{4\alpha \Delta t}{\Delta x^2}\right| \leq 1$를 만족해야한다.

 

이를 정리하면

$$
\Rightarrow \Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2\alpha}} \quad \text{(stability condition)}
$$