[고등자동제어] Lyapunov stability in Discrete Time

 

 

그 전 글들은 모두 continuous time에서의 Lyapunov stability를 다룬 것이므로

Discrete time에 대해서도 정리하려고 합니다.

 

 

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1. Definition of Stability in Discrete Time

 

$x(k+1)=f(x(k),k), x(k_{0})=x_{0}$

 

다음과 같은, Nonlinear/linear time varying/time-invariant systme이 있을 때 이 system과 관련된 $V(x,k)$ 함수의 변화량은 다음과 같이 정의됩니다.

 

$\Delta V(x,k+1)=V(x(k+1),k+1)-V(x(k),k)$

 

 

2. Theorem relative to stability

 

$\textbf{Theorem 1}$

$\text{The equilibrium point 0 at time }k_{0}\text{ is stable in the sense of Lyapunov if there exists a LPDF }V(x,k)$

$\text{such that }\Delta V(x,k+1)\leq 0$

$\text{for all }k\geq k_{0}\text{ and all }x\text{ such that }|x|<r\text{ for some }r>0$

 

 

continuous time일 때와 마찬가지로 ($\Delta V(x,k+1) \approx \dot{V}$) Locally Positive Definite Function V가 있을 때 변화량이 negative semi definite이면 stable in the sense of Lyapunov이다.

 

 

$\textbf{Theorem 2}$

$\text{The equilibrium point 0 at time }k_{0}\text{ is uniformly asymptotically stable over }[k_{0},\infty]$

$\text{ if there exists a decrescent LPDF V(x,k) such that }-\Delta V(x,k+1)\text{ is a LPDF.}$

 

time에 관계없이 stable하기 위해서 decrescent라는 조건이 붙었습니다. 또한 $\Delta V(x,k+1)<0\text{, for all }0<|x|<r$이라는 점에서 asymptotically stable이 성립합니다.

 

 

$\textbf{Theorem 3}$

$\text{The equilibrium point 0 at time }k_{0}\text{ is globally asymptotically stable over}[k_{0},\infty]$

$\text{ if there exists a decrescent PDF }V(x,k)\text{ such that }\Delta V(x,k+1)=-\gamma(|x|)$

$\text{for all }k\geq k_{0}\text{ and all }x\in R^{n}\text{, where }\gamma : R_{+}\rightarrow R_{+}\text{ is a K-class function}$

 

 

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LTI system

 

지금까지는 Nonlinear Time varying system까지 고려한 Lyapunov stability였습니다.

system에서 조건을 만족하는 Lyapunov function을 구할 수 있다면, 시스템이 stable하다는 것을 알 수 있었습니다. 

 

앞서 CT에 대해서 그랬던 것처럼, LTI Discrete system에서 Lyapunov stability theorem을 적용해보겠습니다.

 

$\text{The origin 0 of the n-th order LTI systme }x(k+1)=Ax(k)$

 

$\textbf{Theorem 4 : Lyapunov stability theorem}$

$x(k+1)=Ax(k)\text{ is stable in the sense of Lyapunov if there exists a LPDF }V(x)\text{ such that, for some }r>0$

$V(x(k+1))-V(x(k))\leq 0, \forall |x|<r \Rightarrow \text{ there exists a Lyapunov function V(x) for this system.}$

 

$\text{Asymptotically stable : } V(x(k+1))-V(x(k))<0$, $\forall |x|\neq 0$

 

그러나 이 theorem의 문제점은 Lyapunov function이 없다고 해서, unstable하다고 확신할 수 없으며(필요충분조건이 아니기 때문) Lyapunov function을 구하기 어렵다는 점입니다.

CT에서 했던 것처럼, Lyapunov equation을 통해 stability 판별을 할 수 있습니다.

 

 

a quadratic Lyapunov function 후보로 

$V(x)=x^{T}Px,$ $P^{T}=T,$ $P>0$

을 제시하고 이에 대한 $\Delta V(x(k+1))$을 구해보겠습니다.

 

$\Delta V(x(k+1))=V(x(k+1))-V(x(k))$

$\Delta V(x(k+1))=x(k+1)^{T}Px(k+1)-x^{T}(k)Px(k)$

$=x^{T}(k)A^{T}PAx(k)-x^{T}(k)Px(k)=x^{T}(k){A^{T}PA-P}x(k)$

 

Lyapunov stability theorem을 만족시키기 위해서는 $\Delta V(x(k+1))\leq 0$이어야 하므로,

$\text{If the matrix }{A^{T}PA-P}\leq 0 \text{(negative semi-definite)}$

$V(x)=x^{T}Px\text{ is a Lyapunov function for } x(k+1)=Ax(k+1)$

 

조건을 만족하면 후보로 제시했던 $V(x)=x^{T}Px$가 Lyapunov function이라고 할 수 있습니다.

만약 시스템에 $V(x)=x^{T}Px$가 존재한다면 이 시스템은 Lyapunov stable입니다.

 

$\text{Asymptotically stable} \leftarrow {A^{T}PA-P}<0\text{ (negative definite)}$

 

 

CT에서 $A^{T}P+PA=-Q$로 구했던 Lyapunov equation과

DT에서의 Lyapunov equation인 ${A^{T}PA-P}=-Q$와 비교해보면 좋을 듯 합니다.

 

이제 이 Lyapunov equation을 이용하여 stability를 따져볼 수 있습니다.

 

$\text{globally exponentially stable iff for any positive definite symmetric matrix }Q,$

$\text{there exist a positive definite symmetric matrix P, }$

$\text{which is the unique solution of the discrete time Lyapunov equation }A^{T}PA-P=-Q$

 

$\text{Lyapunov equation : }A^{T}PA-P=-Q$

$\text{1. If a solution P cannot be found, A is not Hurwitz}$

 

A의 pole이 unit circle 위에 있거나 circle 밖에 있는 경우 둘 다 가능합니다.

 

$\text{2. If a solution P is found and positive definite, then A is Hurwitz.}$

$\text{3. If a solution P is not positive definite, then A has at least one eigenvalue outside the unit circle(unstable)}$

 

CT에서 다뤘던 것처럼 Lyapunov equation의 solution을 구하고 그 P의 존재여부, 존재한다면 positive definite 여부에 따라서 stability를 판별할 수 있습니다.