[고등자동제어] Observability in discrete time

Remind

 

Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부

 

 

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1. Definition of Observability

 

 

$\textbf{Definition :}$

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$

$\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$

$\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$

$\text{there exists a finite time } t_{1}>0\text{ such that knowledge of the input and output time functions }$

$\{u(t); t\in[0,t_{1}] \}$

$\{u(t); t\in[0,t_{1}] \}$

$\text{is sufficient t determine the initial state }x_{0}$

 

정의 자체는 복잡해보이지만, 간단하게 생각하면 0에서 N(finite integer)까지의 input, output sequence를 알고 있을 때 그 정보가 initial state를 알기에 충분하다면 이 시스템은 observable합니다. 우리가 알 수 있는 것은 input, output이기 때문에 output과 state 간의 관계를 아는 것이 중요하고, 따라서 $C$ matrix가 이 시스템의 observability에 중요한 역할을 합니다.

 

 

 

 

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2. Observability theorem

 

(controllability theorem과 거의 동일함)

 

 

$\text{(a). The LTI discrete time system of order n}$

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)$

$\text{ is observable.}$

 

$\text{(b). The observability grammian }$

$W_{o}(k_{1})=\sum_{k=0}^{k_{1}}(A^{T})^{k}C^{T}CA^{k}=C^{T}C+(CA)^{T}CA+\cdots+(CA^{k_{1}})^{T}CA^{k_{1}}$

$\text{is positive definite, for some finite integer }k_{1}$

 

$\text{(c). The observability matrix }$

$Q=\begin{bmatrix} C\\CA\\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix}_{nr\times n}$

$\text{is rank n.(i.e. there ae n linearly independent rows)}$

 

 

$\text{Proof : }$

 

증명을 하기 전에 참고해야할 부분이 있습니다.

 

DT LTI system 식에서 output은 free response와 forced response(input으로 인한 response)의 합임을 알고 있습니다.

 

$y(k)=y_{free}(k)+y_{forced}(k)$

 

forced response의 경우 A,B,C,D matrix를 알고 input을 알고 있다면 계산해서 구할 수 있습니다.

 

$y_{forced}(k)=C\sum_{j=0}^{k-1}A^{k-1-j}Bu(j)+Du(j)$

 

그러나 free response는 처음 state를 모르면, 알 수가 없습니다.

$y(k)=CA^{k}x(0)$

 

free response는 직접적으로 $x(0)$에 의존하기 때문에 force response $y_{forced}$는 신경쓰지 않기 위해

$u(k)=0\text{, }\forall k\geq 0$ 라고 가정하고 증명을 하도록 하겠습니다.

 

 

$\text{(c)}\rightarrow \text{(b)}$

 

 

$\text{(b)}\rightarrow \text{(a)}$

 

$\text{(b)}\rightarrow \text{(c)}$

$\text{(a)}\rightarrow \text{(b)}$

 

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3. Observability theorem comment

 

위의 observability theorem을 통해 알 수 있는 것

 

1. DT LTI system of order n일 때, initial state을 estimate하기 위해서는 n개의 output sequence를 관찰한 후에 가능하다. 대신 n번째 이 전의 모든 state를 알 수 있다.

 

$x(0)={Q^{T}Q}Q^{T}Y$

$x(k)=A^{k}x(0)$

 

 

2. controllability theorem에서와 마찬가지로 degree of observability는 observability theorem으로는 알 수 없다.

 

3. observable canonical form

 

$\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-a_{2}&1&0\\-a_{1}&0&1\\-a_{0}&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{2}\\b_{1}\\b_{0}\end{bmatrix}u$

$y=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}$

 

 

$A=\begin{bmatrix}-a_{2}&1&0\\-a_{1}&0&1\\-a_{0}&0&0\end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}$

 

$Q=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-a_{2}&1&0\\(-a_{1}+a_{2}^{2})&-a_{2}&1\end{bmatrix}$

 

$a_{0},a_{1},a_{2}$에 관계없이 항상 full rank입니다.

이 결과는 arbitrary order n에도 일반화할 수 있다고 합니다.

 

 

n=4이면

$A=\begin{bmatrix}-a_{3}&1&0&0\\-a_{2}&0&1&0\\-a_{1}&0&0&1\\-a_{0}&0&0&0\end{bmatrix}$

 

 

4. observability와 controllability는 duality를 가집니다.

 

$\text{The pair }\{A,B\}\text{ is controllable if and only if the pair }\{A^{T},C^{T}\}\text{ is observable.}$

 

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4. Observability results

 

controllability와 마찬가지로 grammian을 이용해 Lyapunov equation처럼 유도할 수 있습니다.

이를 통해 observability grammian이 positive definite인지 판별할 수 있습니다.

 

$W_{o}=\underset{k_{1}\rightarrow \infty}{\lim}W_{o}(k_{1})=\sum_{k=0}^{\infty}(A^{T})^{k}C^{T}CA^{k}$

 

왼쪽에 $A^{T}$를 곱하고, 오른쪽에 $A$를 곱합니다.

$A^{T}W_{o}A-W_{o}=A^{T}C^{T}CA+(A^{T})^{2}C^{T}CA^{k}+\cdots$

$W_{o}=C^{T}C+A^{T}C^{T}CA+\cdots$

 

$A^{T}W_{o}A-W_{o}=-C^{T}C$

 

이 식은 Discrete time에서의 Lyapunov equation과 똑같습니다.

A가 Hurwitz이면, 위의 Lyapunov equation의 solution $W_{o}$을 구할 수 있습니다. 또한 이렇게 구한 $W_{o}$는 positive definite입니다.

$W_{o}$이 positive definite이면 system은 observable합니다.

 

어떤 시스템이 observable한지 궁금하다면 위의 Lyapunov equation을 풀어봄으로써 observable한지 알 수 있습니다.

 

 

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지금까지는 discrete time에 대해서 공부했으므로 다음에는 continuous time에 대한 controllability, observability에 대해 다뤄보겠습니다.