[Optimal Control] Optimal control problem의 performance index

Optimal control problem은 광범위하지만, 보통 세 가지 problem을 주로 다룬다.

이 문제 형식으로 formulation을 해서 문제를 푸는 방식들에 적용하는 것이라고 생각하면 될 것이다.

 

기호 표현 및 정의

• 집합 B에 대한 A의 차집합 $B \backslash A$는 B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합을 의미한다.
• functional : $$ F[y(x)]=\int_{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$$

 

주어진 문제 상황

 

Controlled object

 

$$\dot{x}=f(x,u)$$

$\text{where } x=(x^{1},x^{2},..,x^{n})^{\top}\in R^{n}$ : state

$u = (u^{1},u^{2},...,u^{r})^{\top} \in R^{r}$ : control that can run over a given set $U \subset R^{r}$

$f(x,u) = (f^{1}(x,u),...,f^{n}(x,u))^{\top}$ : smooth with respect to x and continuous with respect to x,u

 

벡터는 column vector 형태이므로 row로 적을 때 $a^{\top}$ 이렇게 transpose를 해준 것이다.

 

$G$ = controllability region

Lagrange Optimization problem

$$\text{Lagrange performance index : }J^{L}=\int_{t_{0}}^{t_{1}}f^{0}(x(t),u(t))dt$$

 

Mayer problem

 

$\text{Let }g(x)\text{ be a smooth function defined on G.}$

$$\textbf{Mayer performance index : }J^{M}=g(x(t_{1}))$$

 

주어진 initial point $x_{0}$에서 $M_{1}\text{ within }G \backslash M_{1}$으로 이동하는 admissible process를 찾는데, 이 때 Mayer performance index가 최소인 process를 M-optimal이라고 한다.

 

Bolza problem

$\text{Let }g(x)\text{ be a smooth function defined on G.}$

$J^{B}=g\left(x\left(t_{1}\right)\right)+\int_{t_{0}}^{t_{1}} f^{0}(x(t), u(t)) d t$

 

위에서 본 것과 마찬가지로 주어진 initial point $x_{0}$에서  $M_{1}\text{ within }G \backslash M_{1}$으로 이동하는 admissible process를 찾고 Bolza performance index를 최소화하는 경로를 B-optimal이라고 한다.

 

 

 

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참고문헌

 

Sufficient Conditions for Lagrange, Mayer, and Bolza Opimization Problems

https://downloads.hindawi.com/journals/mpe/2001/351297.pdf

 

W. H . Fleming et al., Deterministic and Stochastic Optimal Control

https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-1-4612-6380-7_2.pdf