[수치해석] Partial Differential Equation (4) Modified Wavenumber Analysis

Von Neumann analysis는 수치방법이 시간이 지나도 발산하지 않고 안정적으로 작동하는지를 분석한다면, modified wavenumber는 실제 주파수를 얼마나 정확하게 모사하는지를 확인하는 분석이다.

 

 

$$
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}
$$

 

해 형태 가정 (대입):

$$
\Phi(x,t) = \psi(t) e^{ikx}
$$

 

위에 예상한 해의 형태를 대입하면 정확한 형태를 구할 수 있다.

 

$$
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{d \psi}{dt} e^{ikx}, \quad
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} = -k^2 \psi(t) e^{ikx}
\Rightarrow
\frac{d\psi}{dt} = -\alpha k^2 \psi
$$

 

마지막으로 얻은

$$ \frac{d\psi}{dt} = -\alpha k^2 \psi $$를 근사적으로 구한다고 하자.

 

2CD 차분 근사를 한다면, 위의 식은 다음과 같이 나온다.

 

 

$$(k^{'})^2 = \frac{1}{\Delta x^2}(2-2\cos k\Delta x)$$

즉, 실제로는 $k^2$임에도 공간에 대해 차분을 적용함으로써 modified wave number를 얻게 되는 것이다. $\Delta x$에 따라서 modified wave number의 차이가 달라진다. 뒤에서는 이 방법을 이용해 수치 해석 해의 특성을 분석해볼 것이다.