[응용선형대수] Linear equation

대학교 1학년 때 배웠던 응용선형대수 필기가 있는데, 종이에 적어놓다보니 너덜너덜해져서

인터넷에 정리해서 기록하는 게 좋다고 판단했습니다.

혹시나 이 글을 보시는 분들도 도움이 되기를 바랍니다.

 

기본적으로 수업 필기와 Linear algebra and its applications(Gilbert Strang, 4th edition)을 참고하여 글을 작성합니다.

 

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Linear equation

 

중학생 때 방정식을 배우고, 이차방정식을 배웠습니다.

그 때 이차방정식은 두 개의 미지수(예를 들면 $x,y$)로 이루어진 방정식이었습니다.

 

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{matrix}\right.$

 

다음과 같은 식에서 미지수 하나의 계수를 동일하게 맞춰서 소거하거나(소거법), 대입하는(대입법) 방식으로 문제를 해결했었습니다.

이제 이 이차방정식을 더 확장해보겠습니다.

 

 

$Ax=b$

 

$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots \end{matrix}\right.\Rightarrow \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots &  &  & \\ a_{n1} &  & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$

 

다음과 같은 방정식을 a system of linear equation이라고 하고, 선형적이기 때문에 matrix로 표현할 수 있습니다. $a_{ij}$는 coefficient, x는 variable 또는 unknowns입니다.

 

또한 any linear equation은

(1) 해가 없거나

(2) unique한 하나의 해가 있거나

(3) 해가 무한히 많습니다.

 

이는 이차방정식에서 공부할 때도 3가지 경우가 있음을 떠올리면 이해하기 쉬울 것입니다. 

 

(1) 해가 없는 경우

$\text{ex) }\left\{\begin{matrix}x+y=2\\ 2x+2y=3\end{matrix}\right.$

 

(2) 해가 무한히 많은 경우

$\text{ex) }\left\{\begin{matrix}x+y=2\\ 3x+3y=6\end{matrix}\right.$

 

(3) 해가 unique one

$\text{ex) }\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 2x+3y=7\end{matrix}\right.$

 

이와 같은 경우가 이차방정식 외에도 고차방정식에도 적용된다고 보시면 됩니다.

 

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Linear equation에 대해서 먼저 이야기하면서 시작하는 이유는,

(적어도 제가 공부한) 선형대수학은 이렇게 식을 선형적으로 표현할 수 있는 경우에 해를 구하는 것을 주로 다루기 때문입니다. 또한 matrix도 중요한 부분인데 위의 linear equation을 matrix의 곱으로 표현할 수 있음을 알고 이 matrix에 대한 성질을 파악함으로써 식을 바라보는 새로운 관점을 얻을 수 있습니다.

 

저 역시 정리하면서 배우는 입장이기 때문에 잘못된 부분을 지적해주거나, 놓친 부분을 알려주시면 감사하겠습니다.