[응용선형대수] 역행렬 구하기

역행렬을 구할 수 있는 방법에 대해서 정리합니다.

물론 2x2 matrix나 3x3 matrix까지는 이미 공식으로도 나와 있어서 굳이 여기서 설명하는 방법을 사용하지는 않아도 되지만 기억해두면 좋을 것 같습니다.

 

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1. Three row operations

 

그 전에 gaussian elimination에 대해서 공부를 했었습니다. 자세한 내용은 아래 링크를 참고해주세요.

normal-engineer.tistory.com/60?category=964340

[응용선형대수] Gauss elimination 가우스 소거법

 

matrix에서 할 수 있는 row operations에는 3가지 종류가 있습니다.

 

1) $r_{i} \leftarrow cr_{i}$

2) $r_{i} \leftrightharpoons r_{j}$

3) $r_{i} \leftarrow r_{i}+cr_{j}$

 

이 operation을 matrix의 곱으로 표현할 수 있습니다.

 

각 operation matrix를 $E$라고 표현하겠습니다.

어떤 matrix 앞에 operation matrix $E$를 곱함으로써 operation을 수행할 수 있습니다.

 

주의해야할 점은, operation matrix를 뒤에 곱하면 안됩니다. 뒤에 곱하는 순간 row가 아닌 column에 대한 operation으로 작용합니다. 왜 그런지 궁금하시다면 직접 계산해보셔도 됩니다.

 

예를 들어, 위 그림에서 마지막 operation에 대해 뒤에 곱해보겠습니다.

$\begin{bmatrix}1 & 2 &3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\ 3 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 2 &3 \\ 19 & 5 & 6\\ 31 & 8 & 9\end{bmatrix}$

 

계산한 결과처럼 column에 대해 계산한 것을 확인할 수 있습니다.

 

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2. 역행렬을 구하는 방법

 

그럼 왜 지금까지 Operation을 matrix로 나타내는 방법을 배운 것일까요?

 

만약에 어떤 matrix A가 있을 때 row operation을 이용해 identity matrix를 만들 수 있다고 해보겠습니다.

$E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A = I$

 

이렇게 나타낸 식에서 양변에 A의 역행렬을 곱하면

 

$A^{-1}=E_{k}\cdots E_{2}E_{1}$

 

operation matrix의 조합으로 A의 역행렬을 구할 수 있게 되는 것입니다.

 

즉, 어떤 matrix A에 대해 역행렬을 구하고 싶을 때, $(A|I)$에서 시작해서 ($I$는 identity matrix) 양변에 동일한 row operation을 계산합니다. 마지막에 $A$를 $I$ 행렬로 바꾸면, 오른쪽의 $I$ matrix는 row operation들을 거쳐서 $A^{-1}$가 되는 것입니다.

최종적으로 $(I|A^{-1})$로 나타나게 됩니다.

 

이에 대한 예시를 보여드리겠습니다.

 

이와 같은 방식으로 역행렬을 구할 수 있습니다. 참고로 오른쪽 matrix를 구할 때는 operation matrix를 곱한다고 생각하기 보다는 왼쪽의 $A$행렬과 동일하게 row operation을 해준다고 생각하면 더 계산이 쉽게 느껴질 겁니다.

 

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이 글은 여기까지 하고 다음에는 LU Decomposition에 대해 다루겠습니다.