[응용선형대수] Inverse matrix/invertible

이번에는 Inverse matrix(역행렬)과 invertible의 성질에 대해서 정리합니다.

 

 

1. Inverse matrix 정의

 

$\text{Let A be an m x n matrix, if }\exists B\text{ such that }BA=I_{n}\text{, B is called a left inverse of A}$

$I_{n}\text{ is a n x n identity matrix}$

 

$\text{Let A be an m x n matrix, if }\exists C\text{ such that }AC=I_{m}\text{, C is called a right inverse of A}$

 

 

만약 A가 square matrix가 아닌 rectangular matrix라면 left inverse, right inverse 각각을 고려할 수 있습니다.

아래는 A가 square matrix인 경우를 생각합니다.

 

$\text{Let A be a square matrix of order, A is invertible if }\exists B\text{ such that }BA=I_{n}=AB$

$\text{, then B is called the inverse of A}$

 

또한 $\text{invertible}=\text{nonsingular}$

두 단어는 같은 의미로 사용됩니다.

 

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2. Inverse 성질/특징

 

$\text{Theorem}$

$\text{1. A&B are invertible, so is AB}$

$\text{2. A&B are invertible, then }(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

 

cf) $A^{-1}$ : Inverse matrix of A

 

A와 B matrix 둘 다 invertible하다면 두 matrix의 곱 역시 invertible합니다. (물론 두 행렬의 차원이 맞아야 합니다.)

그리고 두 matrix의 곱의 inverse는 두 번째에 나와있습니다.

 

이를 증명하기 위해서는 정의에 따라 원래 행렬($AB$)와 역행렬($B^{-1}A^{-1}$)을 곱해서 Identity matrix가 나오는지 확인하면 됩니다.

 

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I_{n}$

$(B^{-1}A^{-1})AB=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I_{n}$

 

 

$\text{3. If A is invertible, so is }A^{T}\text{ and }(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

$(AA^{-1})^{T}=(I_{n})^{T}=(A^{-1}A)^{T}$

$(A^{-1})^{T}A^{T}=I_{n}=A^{T}(A^{-1})^{T}$

 

$A^{T}$를 기준으로 양쪽에 곱했을 때 Identity matrix가 나옵니다. 따라서 $A^{T}$의 역행렬을 구할 수 있습니다.

 

$\therefore (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$

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$\text{Def) }A^{k}=\underset{k}{\underbrace{AA\cdots A}}$

만약 k가 0이면

 

$A^{0}=I$이므로, 이를 이용해 $A^{k}$의 역행렬을 구할 수 있습니다.

$\text{If A is invertible, }(A^{-1})^{k}=(A^{k})^{-1}=A^{-k}$

 

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$\text{Any matrix with a zero column or a zero row cannot be invertible.}$

 

어떤 행렬에 0으로 이루어진 column이나 row가 있을 경우에는 invertible하지 않습니다.

간단하게 증명할 수 있습니다. 

 

$\text{proof}$

$A=\begin{bmatrix}\vdots & \vdots &  & 0 &  & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & 0 & \cdots & a_{n}\\ \vdots & \vdots &  & 0 &  & \vdots\end{bmatrix}$

 

A matrix가 invertible하다고 가정하면, $AB=BA=I_{n}$인 B가 존재합니다.

$BA = \begin{bmatrix}\vdots & \vdots &  & 0 &  & \vdots \\Ba_{1} & Ba_{2} & \cdots & 0 & \cdots & Ba_{n}\\ \vdots & \vdots &  & 0 &  & \vdots\end{bmatrix} \neq I_{n}$

 

한 column이 모두 0이기 때문에 결코 identity matrix가 나올 수 없습니다.

 

참고

$AB=\begin{bmatrix}Ab_{1} & Ab_{2} & \cdots & Ab_{m}\end{bmatrix}_{m\times m}$

 

 

 

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다음 글에는 gauss elimination을 이용해 inverse matrix를 찾는 방법을 다루겠습니다.