[응용선형대수] matrix(matrices)

이번에는 matrix에 관한 용어, 성질 및 특성에 대해서 알아보겠습니다.

(matrices : matrix의 복수형)

 

1. matrix 종류

 

matrix를 element를 $a_{ij}$라고 할 때 $i$는 row, $j$는 column입니다.

 

• column vector : $m\times 1$ 크기의 matrix \begin{bmatrix} a_{11}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{bmatrix} 이고
• row vector : $1 \times n$ 크기의 $\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\end{bmatrix}$ matrix
  
  
• diagonal matrix : 대각선 위 아래가 0인 matrix
  ex) \begin{bmatrix}* & 0 & 0\\ 0 & * & 0\\ 0 & 0 & *\end{bmatrix}
  
  
• upper triangular matrix : 대각선 아래가 0인 matrix
  ex) \begin{bmatrix}* & * & *\\ 0 & * & *\\ 0 & 0 & * \end{bmatrix}
  
  
• lower triangular matrix : 대각선 위가 0인 matrix
  ex) \begin{bmatrix}* & 0 & 0\\ * & * & 0\\ * & * & *\end{bmatrix}
  
  
  
• Transpose : matrix A가 존재할 때 Transpose of A는 $A^{T}$로 표기하고
  $A^{T}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\ \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nm}\end{bmatrix}_{n\times m}^{T}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{n1}\\ \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{1m} & \cdots & a_{nm}\end{bmatrix}_{m\times n}$

• Symmetric matrix : $A=A^{T}$
• Skew-symmetric matrix : $A=-A^{T}$

 

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2. matrix 연산

 

1) 차원이 동일한 matrix 간 연산 - 원소별 연산

$\text{Given } A=[a_{ij}]_{m\times n}, B=[b_{ij}]_{m\times n}$

 

• 덧셈 : $A+B = [a_{ij}+b_{ij}]$
• 상수 곱 : $kA = [ka_{ij}]$
• 덧셈의 교환법칙 : $A+B=B+A$
• 덧셈의 결합법칙 : $A+(B+C)=(A+B)+C \text{, where C is same size matrix}$
• 항등원 : $A+0=A=0+A \text{, where }0 = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & 0\\0&\cdots&0\end{bmatrix}$

 

2) matrix와 vector 연산

 

$A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}, x=\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$

 

$Ax=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax_{1}+bx_{2} \\ cx_{1}+dx_{2} \end{bmatrix}$

 

이 결과를 자세히 보면,

$\begin{bmatrix}ax_{1} \\ cx_{1} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}bx_{2} \\ dx_{2} \end{bmatrix}=x_{1}\begin{bmatrix}a \\ c \end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}b \\ d \end{bmatrix}$

즉 A matrix의 첫 번째 column이 weight인 $x_{1}$만큼, 두 번째 column이 weight인 $x_{2}$만큼 weight가 곱해져서 합쳐진 것이라 볼 수 있습니다.

 

즉, $Ax$는 A의 weight x에 대한 linear combination인 것입니다.

 

이를 일반화해보겠습니다.

 

 

3) matrix 곱

$A=\begin{bmatrix}\cdots a_{1} \cdots\\ \cdots a_{2} \cdots\\ \vdots\\ \cdots a_{m} \cdots\end{bmatrix}_{m\times n}$

 

$B=\begin{bmatrix}\vdots & \vdots &  & \vdots \\ b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{m}\\ \vdots & \vdots &  & \vdots\end{bmatrix}_{n\times m}$

 

다음과 같은 matrix $A,B$가 주어져있을 때

 

$AB$를 두 가지로 해석할 수 있습니다.

$AB=\begin{bmatrix}Ab_{1} & Ab_{2} & \cdots & Ab_{m}\end{bmatrix}_{m\times m}$

 

matrix AB의 각 column은 matrix A와 weight column vector $b_{i}$의 곱임을 알 수 있습니다.

 

반대로

$AB=\begin{bmatrix}a_{1}B\\ a_{2}B\\ \vdots\\ a_{m}B\end{bmatrix}_{m\times m}$

 

matrix AB의 각 row는 matrix B와 weight row vector $a_{i}$의 곱임을 알 수 있습니다.

 

이런 식으로 matrix의 곱을 각 column(또는 row)와 그에 해당하는 weight의 곱이라고 생각하는 관점은 나중에 개념을 이해하는 데에 도움이 됩니다.

 

 

4) matrix 곱에 대한 성질

$A,B,C$가 적절한 크기의 matrix라고 할 때

 

• 결합 법칙 : $(AB)C=A(BC)$
• 분배 법칙 : $A(B+C)=AB+AC$
• 항등원 : $AI=A=IA$ ($I$는 대각선이 1인 행렬)
• 상수 곱 : $kBC=(kB)C=B(kC)\text{, where }k\in \mathbb{R}$
• 교환 법칙 성립X : $AB\neq BA$
• $AB=0 nLeftrightarrow A=0 \text{ or }B=0$

마지막 성질에 대하여 :

일반적으로 $ab=0$일 때 a 또는 b가 0이라는 성질을 이용해 문제를 해결할 때가 있는데 matrix에서는 성립하지 않는다.

예시 : $A=\begin{bmatrix}0 & 0 \\ -1 & 1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$

 

5) Transpose의 성질

 

$(kA)^{T}=kA^{T}$ : Transpose는 곱해주는 상수에 영향을 미치지 않음

$(A\pm B)^{T}=A^{T}\pm B^{T}$ : Transpose는 분배 법칙처럼 작용

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ : matrix의 곱에 대해서는 순서를 바꿔줘야 함

 

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이번에는 matrix의 연산에 대해서 주로 알아보았고 다음에는 inverse matrix에 대해서 알아보겠습니다.