[응용선형대수] Vector Space/Subspace

참고하면 좋은 글 : normal-engineer.tistory.com/29

[고등자동제어] 제어에서 필요한 수학 개념

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1. Vector space

 

$\text{Vector space : abstract concept of }\mathbb{R}^{n}$

$\text{Let }V=\mathbb{R}^{n}$

$a=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$

$b=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})$

$c=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})$

 

V는 n차원에 있는 벡터들을 포함하는 공간, a,b,c는 그 안에 있는 벡터들 예시입니다. (여기서 말하는 '벡터'는 1xn matrix를 직접적으로 의미하는 것이 아닙니다.)

 

 

$a+b := (a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n})$

$ka := (ka_{1},ka_{2},\cdots,ka_{n})$

 

1) $(a+b)+c=a+(b+c)$

2) $a+0=a=0+a$

3) $a+(-a)=0=(-a)+a$

4) $a+b=b+a$

5) $k(a+b)=ka+kb$

6) $(k+l)a=ka+la$

7) $(kl)a=k(la)=l(ka)$

8) $1\cdot a=a$

 

$a=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\approx \begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}_{n\times 1}\text{ or }\begin{bmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\end{bmatrix}$

 

위에서 말했듯이 이 벡터는 matrices와 거의 비슷하며, matrix는 위의 1~8번 성질을 모두 만족시킵니다.

 

그러나 일반적으로, 1~8번에서 만족시키는 것을 vector space라고 부릅니다.

예를 들어

$V=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}|a_{i}\in\mathbb{R}\}$

polynomial을 위한 계수들을 벡터로 만든 space도 vector space라고 할 수 있습니다.

 

하지만 응용선형대수에서 다루는 vector space는 대부분 matrix입니다.

 

$\text{Theorem :}$

$\text{Let V be a vector space and }a,b\in V$

1) $a+b=b \Rightarrow a=0$

2) $\underset{scalar}{\underline{0}}\cdot a=\underset{vector}{\underline{0}}$

3) $k\cdot 0 =0$

4) $\text{if }a+x=0, x=-a$

5) $\text{if }ka=0, k=0\text{ or }a=0$

 

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2. Subspace 개념

 

 

$\text{Definition : }$

$\text{Let V be a vector space }W(\subseteq V)\text{ is called a subspace if w is a vector space with the operations of }V$

 

$\mathbb{R}^{2}$의 subspace 예시

 

$\text{ex) }W=\left\{\begin{bmatrix}x\\x\end{bmatrix}|x\in \mathbb{R} \right\}\subseteq \mathbb{R}^{2}$

 

이 space가 subspace인지 알기 위해서는 성질을 검증해봐야 합니다.

 

$\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}\\x_{1}+x_{2}\end{bmatrix}\in W$

$C\begin{bmatrix}x\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Cx\\Cx\end{bmatrix}\in W\text{, where C is scalar}$

 

subspace가 아닌 예시

 

$\text{ex) }W=\left \{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}|x\geq 0, y\geq 0 \right \}\subseteq \mathbb{R}^{2} \Rightarrow \text{ Not subspace}$

 

$\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{bmatrix}\in W$

$(-1)\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\-2\end{bmatrix}\notin W$

 

scalar multiplication에서 성질을 충족시키지 못했으므로 $W$는 $\mathbb{R}^{2}$의 subspace가 아닙니다.

 

그 외에도 subspace와 subspace가 아닌 것의 차이를 보면

 

$\text{ex) }$

$W_{1}=\left\{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}|3x+2y+z=0 \right\}\subseteq \mathbb{R}^{3}$

$W_{2}=\left\{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}|3x+2y+z=1 \right\}\subseteq \mathbb{R}^{3}$

 

$W_{1}$는 subspace이고, $W_{2}$는 subspace가 아닙니다.

그 이유는 $W_{2}$에 영벡터가 존재할 수 없기 때문입니다. $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$을 대입했을 때 $3x+2y+z=1$을 만족시킬 수 없고 따라서 이 space에는 영벡터가 존재하지 않습니다.

vector space의 조건 중 하나는 영벡터가 있다는 것이므로 $W_{2}$는 subspace가 아닙니다.

 

 

지금까지 했던 내용을 종합한 theorem을 소개하겠습니다.

 

$\text{Theorem : }$

$W\subseteq V \text{ is a subspace if (1).} w_{1},w_{2}\in W \Rightarrow w_{1}+w_{2}\in W$

$\text{(2). }c\in \mathbb{R}, w\in W \Rightarrow cw\in W$

 

$\mathbb{R}^{2}$ subspace 예시

1) $\{(0,0)\}$

2) $\mathbb{R}^{2}$

3) $\left\{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}:ax+by=0\right\}$

 

$\mathbb{R}^{3}$ subspace 예시

원점을 지나는 planes

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이번에는 vector space와 subspace에 대해서 다루고

다음에는 subspace에서도 null space와 column space에 대해서 정리하겠습니다.