[선형대수] QR decomposition

앞에서 썼던 LU Decomposition 외에도 Cholesky decomposition, QR Decomposition, SVD(Singular Value Decomposition) 등 다양한 행렬분해가 존재한다는 사실을 알게 되었습니다.

가끔 시간 날 때마다 정리를 해두면 도움이 될 것 같아서 적어둡니다.

 

위키피디아(ko.wikipedia.org/wiki/%ED%96%89%EB%A0%AC_%EB%B6%84%ED%95%B4)에 따르면,

 

선형 방정식과 관련된 분해와 교윳값(eigenvalue)에 근거한 분해 2가지 종류의 분해가 대표적으로 쓰입니다.

LU, QR, Cholesky decomposition은 선형 방정식과 관련된 분해이고,

 

eigenvalue, jordan, singular value decomposition은 eigenvalue에 근거한 분해라고 합니다.

 

 

제가 지금 정리할 것은 QR decomposition입니다.

 

$m\times n(m\geq n) matrix A$는 QR 분해를 할 수 있습니다.

$A=QR$

A가 실수 성분($\mathbb{R}$)을 가지느냐, 복소수($\mathbb{C}$) 성분을 가지느냐에 따라 QR이 조금 달라지는데요, A가 복소수일 경우

$Q : m\times n \in \mathbb{C}\quad \rightarrow  \text{Unitary matrix }( \text{def: }U^{*}=U^{-1})$

$R : n\times n \in \mathbb{C} \quad  \rightarrow \text{ Upper triangular matrix}$

 

만약 실수 성분을 가진다면

$Q : m\times n \in \mathbb{R} \text{ Orthogonal matrix}$

 

또한

$A$가 invertible matrix일 때 $Q$의 열들은 항상 $A$의 Column space의 orthogonal basis가 됩니다. R의 모든 대각 원소가 양수인 QR Decomposition은 Unique합니다.

 

(내용 추가 예정)