[고체역학] Statics Ch5 : Centroids and Centers of Gravity

first moment of the area라는 용어가 이 단원에서 나오는데 나중에 가면 second moment 등 moment가 들어간 용어랑 헷갈릴 수도 있어서 여기서 잘 익히고 넘어가는 것이 좋습니다.

 

 

1. Center of Gravity of 2D body

 

보통 어떤 물체가 중력을 받을 때는 물체가 질량과 부피가 있으므로 그 물체의 부피 전체에 걸쳐서 중력이 작용하고 그 종합을 $m*g$이라는 질량과 중력가속도의 곱으로 구하게 됩니다. 그러나 하중이 전체적으로 분포하는 상황은 문제를 복잡하게 만들기 떄문에 center of gravity를 구해서 간단하게 이 무게중심에 중력이 가해지고 있다고 생각할 수 있습니다.

 

특히 모멘트는 거리와 힘 변수 둘 다 이용하기 때문에($\vec{r}\times \vec{F}$) 일반적인 물체가 질량이 부피에 걸쳐 분포해있는 경우에 모멘트를 좀 더 쉽게 구하기 위해서 앞으로 나올 first moment of the area가 중요합니다.

 

질량이 각 small elements에 분포해있을 때

 

$\text{weight : }W=\int dW$

$\text{center of gravity (x) : }\bar{x}W=\int x dW$

$\text{center of gravity (y) : }\bar{y}W = \int y dW$

 

 

2. Centroid of Area and Line

만약 우리가 다루는 문제의 물체가 균일한 두께와 물성의 plate라면,

$\Delta W =\gamma t \Delta A$

 

여기서 $\Delta W$는 plate의 element의 weight, $\gamma$는 specific volume (weight per unit volume)인데 물체가 균일한 물성이므로 $\gamma$는 상수입니다.

t는 두께, $\Delta A$는 element의 면적입니다.

 

또한 전체 plate에 대해서는 $W=\gamma t A$가 성립합니다.

 

또한 앞서 본 내용을 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 

$\bar{x}W=\bar{x}\gamma t A =\int x dW=\int x \gamma t dA$

$\bar{x}A=\int x dA = Q_{y} = \text{first moment with respect to y}$

y에 대해서도 마찬가지로,

$\bar{y}A=\int y dA = Q_{x}=\text{first moment with respect to x}$

 

여기서 first moment의 개념이 나옵니다. 각 element의 x 또는 y축 좌표를 면적에 대해 적분한 값으로 정의됩니다.

또한 first moment of area라고도 부르니 혼동이 없기 바랍니다.

 

식 자체는 물체 면적의 중심에 면적을 곱한 것이므로 물체의 면적 중심을 구하는 과정이라고 볼 수 있습니다.

만약 면적에 대해 물체가 균일한 두께 및 specific volume을 가질 경우 쉽게 질량의 중심 역시 알아낼 수 있습니다. 면적 중심이 곧 질량 중심이기 때문입니다. 

 

 

Line에 대한 centroid를 구할 수 있는데 간단히 언급만 하고 넘어가겠습니다.

 

위의 과정과 동일하게

$\bar{x}L=\int x dL$

$\bar{y}L = \int y dL$

 

 

3. Determination of Centroids by Integration

 

문제에서는 면적 중심을 직접 구해보라고 종종 제시할 때가 있습니다.

기본적으로 table이 책에 주어져 있어서 필요성을 못 느낄 수는 있지만 방법을 알아둬야 table이 없어도 풀 수 있으니까요.

 

위의 first moment of area가 결국 면적 중심을 알아내는 과정이라고 설명을 했었습니다.

면적 중심인 $\bar{x},\bar{y}$를 알아내려면 미소 면적($dA$)에 대해 적분해야하는데 이것은 너무 어렵고 보통은 x,y축에 대해 이중적분을 수행하게 됩니다.

 

$\bar{x}A=\int x dA=\iint x dx dy = \int \bar{x}_{el} dA$

$\bar{y}A=\int y dA=\iint y dy dx = \int \bar{y}_{el} dA$

 

즉, dA 대신 면적을 x축이나 y축으로 slicing해서 그 element의 면적 중심을 다른 축에 대해 적분하는 방식입니다.

이 case는 $\bar{y}A$를 구한다면 y축 방향으로 slicing한 element에 대해서 적분을 수행합니다.

 

y축 좌표가 궁금한 것이므로 각 strip의 면적 중심의 y좌표가 얇은 띠의 y축 길이의 절반임을 알고, $\bar{y}_{el}=\frac{y}{2}$을 얇은 띠의 면적($dA$)에 대해 적분합니다.

 

또 $\bar{x}A$는 x 좌표가 궁금한 것이므로 각 strip의 면적 중심 x 좌표 $\bar{x}_{el}$는 곧 x입니다. 이 x를 $dA$에 대해 적분해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이 방법은 slicing하는 축이 x축 방향일 뿐 위와 동일하므로 살펴보시기 바랍니다.

상황에 따라서 x축으로 slicing하는 것이 유리할 때가 있고, y축으로 slicing하는 것이 유리할 때가 있습니다.

 

일반적으로는, 면적 모양이 어느 축에 대해서 0부터 시작하는지를 따지면 편한 것 같습니다.

예를 들어 이 예시에서는 면적이 y축이 0일 때부터 시작하므로 y축 방향으로 slicing하면 $dA$가 $ydx$로 표현될 수 있으므로 적분하기가 편한데,

 

x축에 나란하게 slicing하면 x축에 대해서는 0부터 시작하지 않은 element가 존재하므로 $dA=(a-x)dx$가 되므로 적분이 어려워집니다.

물론 면적의 y축을 평행이동해서 맨 오른쪽의 선분과 일치하게 하면 적분이 편해질 수 있습니다.

 

어차피 면적 중심의 절대적 위치는 변하지 않으므로 편한 방법을 택하면 됩니다.

 

추가적으로 첨언을 하면 면적이 대칭일 경우에 그 면적 중심은 대칭축 위에 존재합니다. 따라서 두 개 이상의 축에 대해서 대칭인 면적은 그 대칭 축의 교점에 존재한다는 것을 추론할 수 있습니다.

 

4. Table : Centroid of area

 

 

제가 쓰기 위해서 table을 첨부해두는데 다른 곳에 가져가지 말아주세요.

 

 

 

 

5. Three Dimensional Centers of Gravity and Centroids

3차원일 때도 동일하게 center of gravity와 centroid를 구합니다.

대신 3차원이므로 면적이 아니라 부피에 대해서 구하고, centroid는 x,y,z축 좌표를 가집니다.

 

$W=\int dW$

$\vec{r}_{G}W=\int \vec{r} dW$

 

이를 x,y,z 좌표에 대해서 구하면

$\vec{x}W=\int x dW$

$\vec{y}W=\int y dW$

$\vec{z}W=\int z dW$

 

homogeneous body일 경우 $W=\gamma V \rightarrow dW=\gamma dV$

$\vec{x}V=\int x dV$

$\vec{y}V=\int y dV$

$\vec{z}V=\int z dV$

 

 

table

 

 

6. Composite Bodies

 

table에서 알고 있는 여러 개의 parts가 합쳐진 composite bodies는 다음 식을 통해서 x,y,z 좌표를 알아낼 수 있습니다.

 

$X \sum W =\sum \bar{x}W$

$Y \sum W =\sum \bar{y}W$

$Z \sum W =\sum \bar{x}W$

 

($X,Y,Z$가 centroid)

 

$X \sum V =\sum \bar{x}V$
$Y \sum V =\sum \bar{y}V$
$Z \sum V =\sum \bar{x}V$