[고등자동제어] Z-transform

Discrete time system일 때, z transform을 적용한다.

 

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1. Meaning / Definition

 

Laplace transform과 유사하게, z-transform은 Linear Difference Equation을 푸는데에 유용한 방법입니다.마찬가지로 Linear Difference Equation을 z-transform을 통해 algebraic equation으로 전환하고, 이를 equation을 풀어서 다시 Inverse Z-transform을 해서 솔루션을 구합니다.

 

$ \text{Discrete time function f : } Z_{+} \rightarrow \Re, f : k  \mapsto f(k) \text{ The symbol k will imply a non-negative integer.}$$ \text{Z-transform } F(z) = Z{f(k)} = \triangleq \sum_{k=0}^{\infty} f(k)z^{-k} = f(0) + f(1)z^{-1} + f(2)z^{-2} +..., z \in \mathbb{C}$

 

$ f(k)=0 \text{ for all } k < 0 $앞서 다뤘던 Laplace Transform과 마찬가지로 k<0일 때 f(k)=0 으로 가정하고 0부터 무한대까지 sum을 합니다.엄밀히 말하면 Z-tranform은 $-\infty$에서 $\infty$까지 적분하는 것을 말하며, 위의 정의는 Unilateral Z-transform입니다.

 

우리는 causal한 시스템을 다루므로 이렇게 하는 것입니다.

 

 

2. Existence

 

Sum을 할 때도 $z^{-k}$이 발산할 수도 있기 때문에, Laplace transform과 마찬가지고 Region of Convergence(ROC)를 구해야 한다.

 

Sufficient Condtionsf(k) does not grow faster than a geometric sequence as $k \rightarrow \infty$$|f(k)| < Kp^{k}, k \geq N \text{,  for some constants K, p }\in \Re_{+} \text{ and N}\in Z_{+}$

 

Laplace transform과 마찬가지로 Existence를 위한 조건이 있습니다. $z^{-k}$를 곱하기 때문에 기하급수보다 더 빠르게 커지면, 그 sum은 발산하게 되므로 z-transform이 존재하지 않습니다.

 

Region of convergence : F(z)가 존재한다면, ROC는 다음과 같다.${z : |z| \geq r_{0} | r_{0}\text{ is the smallest real number for which F(z) exists and } |z| = r_{0}}$

 

$ z = re^(i\theta)$ 이므로 ROC는 z-plane의 unit circle으로 나타난다.

 

예를 들면, $f(k) = a^{k}$ 를 z-transform한다고 해보자.

 

$ F(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a^{k} z^{-k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (az^{-1})^{k} = \frac{1-az^{-1}}{1-(az^{-1})^{\infty}}$$|az^{-1}| < 1$ 이어야 하므로 ROC는 $|z| > |a|$이다.

 

즉, ROC를 z-plane에 나타내면 다음과 같다.

 

 

 

3. Example

 

Laplace transform이 그러하듯, table에 나와있습니다. 물론 지금까지 얘기해온 것은 unilateral z-transform이기 때문에 주의해야하지만 아래 table에 있는 대부분의 예는 k<0일 때 f(k)=0인 경우입니다. 아래 표에서  k와 n이 동일한 문자라고 보시면 됩니다.

 

Signals and Systems

4. Properties

 

z-transform도 properties가 많이 존재하는데, laplace transform가 매칭되는 성질이 많습니다.

time advance $x[n+1]$를 보면 $zX(z)-zx[0]$로 나타나는데 이는 $\frac{dx}{dt}$의 Laplace transform인 $sX(s)-x(0)$와 일치하는 부분입니다.

즉 discrete time에서 시간을 미리 앞당기는 것이 미분과 거의 비슷하다고 볼 수도 있습니다. Linear Difference equation을 보면, $x[n+1] - x[n] = u[n]$이라고 해보면 미래와 현재의 값의 차는 미분의 변화량으로 볼 수 있습니다. 

Linear Difference equation과 Linear Differential equation의 유사점을 눈치챌 수 있는 부분입니다. 

 

마찬가지로, time delay $x[n-1]$를 보면 $z^{-1}X(z)$로 나타나는데 이는 $\int_{0}^{t} x(\tau) d\tau$의 Laplace transform인 $\frac{1}{s} X(s)$와 대응됩니다. 

 

+ properties 추가

1) N steps advance

2) N steps delay

3) Initial Value Theorem (IVT) & Final Value Theorem (FVT)

 

IVT 증명

$Z[f(k+1)] = \sigma_{k=0}^{\infty} z^{-k} f(k+1) = zF(z) - zf(0)$

양변에 $z^{-1}$을 곱하고 z를 무한대로 보내면,

$f(0) = \lim_{z \rightarrow \infty} F(z) \Rightarrow IVT$

 

FVT 증명

$If \lim_{k\rightarrow \infty} f(k) \text{ exists,}$

$Z[f(k+1)-f(k)] = \sigma_{j=0}^{\infty} [f(j+1)-f(j)] z^{-j}$

$zF(z)-zf(0)-F(z) = (z-1)F(z)-zf(0) = \lim_{k\rightarrow\infty} \sigma_{j=0}^{k} [f(j+1)-f(j)]z^{-j}$

$\lim_{z \rightarrow 1}(z-1)F(z)-zf(0) = \lim_{k\rightarrow \infty} f(k+1) - f(0)$

 

따라서

$\lim_{z \rightarrow 1}(z-1)F(z) = \lim_{k\rightarrow \infty} f(k) \Rightarrow FVT$

 

 

 

 

5. Inverse Z-Transform

 

$\text{Inverse Z-Transform : } f(k) = \frac{1}{2\pi j} \oint F(z)z^{k-1} dz$

 

실제 문제를 풀 때는 ordinary difference equation을 z transform을 통해 algebraic equation으로 풀고

다시 table을 이용해 원래 식으로 되돌립니다. 보통 솔루션의 z-transform은 rational form으로 나타납니다.

 

 

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+추가 메모

 

신호및시스템을 공부할 때는, 항상 stability와 causality에 대해서 다뤘는데

제어의 관점에서 항상 causal하기 때문에 이 수업을 공부할 때는 나오지 않았다.

나중에 시간을 내서 추가로 causality와 stabilty에 대해서 다뤄볼 생각이다.