[비행동역학] Total angle of attack and Aerodynamic roll angle

 

angle of attack은 바람에 대한 상대적인 속도를 나타낼 때 사용된다. 공력을 표시할 때 공력은 바람에 대한 상대속도를 기준으로 만들어지기 때문이다.

 

그 중에서도 total angle of attack ($\alpha_{T}$)과 aerodynamic roll angle ($\phi_{T}$)이라는 개념이 있다. 이 개념은 angle of attack, side slip angle과 달리 XY평면, XZ평면 대칭인 미사일 같은 형상을 다룰 때 사용된다. (AoA와 Side slip angle은 비행기 같은 XZ평면 대칭인 경우에 주로 사용된다.)

 

$\alpha_{T} = \cos^{-1}(\cos\alpha \cos\beta)$

$\phi_{T}=\tan^{-1}\left(\displaystyle \frac{\tan\beta }{\sin\alpha} \right)$

 

여기서 $\alpha$와 $\beta$는 받음각과 옆미끄럼각이다.

 

$\alpha=\tan^{-1}\left( \displaystyle \frac{w}{u} \right),\; \beta=\sin^{-1}\left(\displaystyle \frac{v}{V}\right)$

 

 

위의 정의 말고도 기하학적인 형상을 보고도 다음과 같이 구할 수 있다.

 

위 그림에서 빨간색은 바람을 기준으로 한 좌표계이다.

 

$u,v,w$는 동체 좌표계를 기준으로 표기한 물체의 속도이다.

 

위 그림에 따르면,

$\alpha_{T}=\cos^{-1}\left(\displaystyle \frac{u}{V}\right)$

$\phi_{T}=\tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{v}{w}\right)$

으로 구할 수 있다.

 

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Q. 그러면 $(\alpha, \beta)$와 $(\alpha_{T},\phi_{T})$의 변환을 쉽게 구할 수 있는 방법이 있을까?

$\alpha, \beta$가 주어진 경우에는 위의 식을 이용해 바로 $\alpha_{T},\phi_{T}$를 구할 수 있지만 역으로는 구하기 어렵다.

그래서 차라리 중간 단계인 $(u,v,w,V)$를 구하고 그 다음에 $\alpha,\beta$를 구하는 방법이 있다.

 

$V=1$로 고정시켜놓으면 구속조건으로 $u^2+v^2+w^2=V^2=1$이 생긴다. 

 

$ \cos\alpha_{T}=\displaystyle \frac{u}{V} $

$ \tan\phi_{T}=\displaystyle\frac{v}{w} $

를 만족하는 $u,v,w$를 쉽게 구할 수 있다.

 

$u = V\cos\alpha_{T}$

$w\tan\phi_{T}=v$

이 식을 구속조건에 대입하면,

$V^2 \left((1-\cos\alpha_{T})^2\right) = w^2 \left(1+(\tan\phi_{T})^2\right)$

여기서 $w$를 구할 수 있고, $u$는 이미 $u = V\cos\alpha_{T}$ 관계로 알 수 있으며,

자동으로 $v$가 결정된다. 

 

그 다음에는 이 식으로 구하면 된다

 

$\alpha=\tan^{-1}\left( \displaystyle \frac{w}{u} \right),\; \beta=\sin^{-1}\left(\displaystyle \frac{v}{V}\right)$

 

 

# MATLAB 코드

alpt = [ 0,  4,  8, 12, 16 ] ;
phia = [  0. ,  22.5,  45. ,  67.5,  90. , 112.5, 135. , 157.5, 180. ,...
       202.5, 225. , 247.5, 270. , 292.5, 315. , 337.5, 360. ] ;

N = length(alpt) ;
M = length(phia) ;
R2D = 180.0/pi ;
options = optimoptions('fsolve','Display','off') ;
record = zeros(length(alpt)*length(phia),2) ;
V = 1 ;

for i =1:N
        fprintf(" ====================================================================== \n") ;
    for j =1:M


        alpt_tmp = alpt(i) ;
        phia_tmp = phia(j) ;
        fprintf("when alpt = %.1f, phia = %.1f /  ", alpt_tmp, phia_tmp) ;

        w = sqrt( (1 - V^2 * cosd(alpt_tmp)^2) / (1+tand(phia_tmp)^2) ) ;
        u = V * cosd(alpt_tmp) ;
        v = sqrt(1-w^2-u^2) ;

        alpha = atan(w/u) * R2D ;
        beta = asin(v/V) * R2D ;

        fprintf(" u = %.2f, v = %.2f, w = %.2f  /  ", u,v,w)
        fprintf(" alpha = %.2f, beta = %.2f \n", alpha, beta) ;
        
        record( (i-1)*M + j, 1 ) = alpha ;
        record( (i-1)*M + j, 2 ) = beta ;
    end
end