[응용선형대수] Null space/Column space

1. Definition of Null space

 

$\text{Definition : }$

$\text{null space of A, }N(A)=\{x\in\mathbb{R}^{n},Ax=0\}$

$\text{claim }N(A)\text{ is a subspace}$

$\text{(i). non-empty }\Rightarrow$ 항상 $A\dot 0=0$이므로 null space에는 영벡터가 존재하고, null space은 empty일 수 없다.

$\text{(ii). }Ax_{1}=0, Ax_{2}=0 \Rightarrow A(x_{1}+x_{2})=Ax_{1}+Ax_{2}=0$

$\text{if }x_{1},x_{2}\in N(A)\text{, then }x_{1}+x_{2}\in N(A)$

$\text{(iii). if }x\in N(A) \text{ then }cx\in N(A)\text{ for any }c\in \mathbb{R}$

$A(cx)=c(Ax)=0$

 

$\text{ex) } A=\begin{bmatrix}1&0\\5&4\\2&4\end{bmatrix}$

$N(A)=\{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\}$

 

A matrix의 경우에는 두 column이 independent하므로 null space에 영벡터 밖에 없습니다.

 

$B=\begin{bmatrix}1&0&1\\5&4&9\\4&4&8\end{bmatrix}$

$N(B)=\{c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}:c\in \mathbb{R} \}$

 

 

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* Spanning space

$V:\text{ a vector space}$

$\text{(i). }v\in V \{av:a\in\mathbb{R}\}\text{ is a subspace}$

$\text{(ii). }v_{1},v_{2}\in V \{av_{1}+bv_{2}:a,b\in\mathbb{R}\}$

$\text{(iii). }v_{1},v_{2},\cdots,v_{k}\in V \{a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots+a_{k}v_{k}, a_{i}\in\mathbb{T}\}$

 

 

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2. Column space

 

$\text{Definition : }$

$\text{C(A) is a spanning space of all columns of A}$

 

$\text{Ex1) }$

$A=\begin{bmatrix} 1&0\\5&4\\4&4\end{bmatrix}$

$C(A)=\{u\begin{bmatrix}1\\5\\4\end{bmatrix}+v\begin{bmatrix}0\\4\\4\end{bmatrix}, u, v\in \mathbb{R}\}$

A의 두 column으로 만든 평면

 

두 벡터가 Spann하는 공간은 두 벡터가 독립이라면, 한 평면이 나오게 됩니다.

 

$\text{Ex2) }$

$A=\begin{bmatrix}0&0\\0&0 \end{bmatrix}$

$C(A)=\{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\}$

 

 

$\text{Ex3) }$

$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$

$C(A)\text{ is xy planes}$

 

column을 보면 x축 벡터 하나($\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}$), y축 벡터 하나($\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}$)가 있으므로 두 벡터가 만드는 공간은 xy 평면입니다.

 

$\text{Ex4) }$

$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$C(A)\text{ is }\mathbb{R}^{3}$

 

Example3과 비슷하게, x,y,z축 벡터가 하나씩 있으므로 이 벡터들이 만드는 공간은 3차원 전체 공간입니다.

 

 

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이번에는 column space, null space에 대해서 소개했고 다음에는 이 개념들을 방정식에 푸는 데 어떻게 사용하는지를 다루겠습니다.