[고등자동제어] Controllability in Continuous time

Remind : 

controllability : control input을 이용해 원하는 state로 만들 수 있는지 여부

 

이번에는 discrete time이 아닌 continuous time에서 controllability를 판별하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

discrete time과 거의 유사해서 설명 자체를 간소하게 할 수도 있을 것 같습니다.

 

참고 글 : normal-engineer.tistory.com/71

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1. Definition of controllability

 

$\text{The LTI continous time system}$

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\text{ is said to be controllable if,}$

$\text{for any initial state }x(0)=x_{0}\text{ and any target state }x_{1}$

$\text{there exists a finite time }t_{1}>0\text{ and a control }\{u(t); t\in [0,t_{1}]\}$

$\text{that will transfer the state }x_{0}\text{ to }x(t_{1})=x_{1}$

 

여기서 나오는 $x_{0},x_{1}$은 임의로 정해져도 위의 말이 성립되어야 합니다. 즉, 임의의 초기 조건과 임의의 target state가 있더라도 control input을 이용해서 처음 state에서 target state로 도달할 수 있어야 합니다.

 

또한 discrete time에서 그랬던 것처럼 finite time $t_{1}$ 이후에 시스템이 target state에 머물러있을지는 신경쓰지 않습니다.

 

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2. Controllability theorem

 

 

$\text{(a). The LTI discrete time system of order n }$

$\dot{x}(t)=Ax(k)+Bu(k), A\in \mathbb{R}^{n\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times m}\text{ is controllable.}$

 

$\text{(b). The controllability grammian}$

$W_{c}(t_{1})=\int_{0}^{t_{1}}e^{At}BB^{T}e^{A^{T}t}dt$

$\text{ is positive definite, for some finite integer }t_{1}>0$

 

$\text{(c). Controllability matrix}$

$P=\begin{bmatrix}B & AB & A^{2}B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix} \text{ is rank n.}$

$\text{(i.e. there are n linearly independent columns)}$

 

여기서 P matrix는 square matrix가 아니라는 것에 주의해주세요.

 

$B,AB,A^{B},\cdots \in \mathbb{R}^{n\times m}$

$P \in \mathbb{R}^{n\times nm}$

 

$\text{Controllability grammian}$

$B=b \in R^{n\times 1}$

$f(t)=e^{At}b$

$W_{c}(t_{1})=\int_{0}^{t_{1}} f(t)f^{T}(t) dt \text{, where } f(t)f^{T}(t)\geq 0$

 

 

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3. Controllability theorem comments

 

 

1. controllable cannonical pair

 

$A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

 

은 항상 controllable합니다.

 

왜냐하면, controllable matrix를 구해보면

 

$\text{controllability matrix : }\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-a_{2}\\1&-a_{2}&(-a_{1}+a_{2}^{2})\end{bmatrix}$

 

다음과 같은 full rank matrix이기 때문입니다.

 

 

 

2. discrete time에서 controllability grammian을 이용해 lyapunov equation을 만든 것처럼, continuous time에서도 동일하게 해볼 수 있습니다.

 

controllability grammian의 asymptotic value를 정의하도록 하겠습니다.$W_{c}=\underset{t_{1}\rightarrow \infty}{\lim}W_{c}(t_{1})=\int_{0}^{\infty}e^{At}BB^{T}e^{A^{T}t}dt$

 

$AW_{c}=\int_{0}^{\infty}Ae^{At}BB^{T}e^{A^{T}t}dt$

$W_{c}A^{T}=\int_{0}^{\infty}e^{At}BB^{T}e^{A^{T}t}A^{T}dt$

 

$AW_{c}+W_{c}A^{T}=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x}(e^{At}BB^{T}e^{A^{T}t})dt$

$=[e^{At}BB^{T}e^{A^{T}t}]_{0}^{\infty}=-BB^{T}$

 

$\therefore AW_{c}+W_{c}A^{T}=-BB^{T}$

 

matrix A가 hurwitz이면 solution $W_{c}$는 위의 Lyapunov equation을 통해 구할 수 있고, positive definite이다.

또한 $W_{c}$가 PD이면 시스템은 controllable하다.