[고등자동제어] Observability in Continuous time

Remind

 

Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부

 

 

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1. Definition of observability (CT)

 

$\textbf{Definition :}$

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$

$\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$

$\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$

$\text{there exists a finite time t_{1}>0 such that knowledge of the input and output time functions }$

$\{u(t); t\in[0,t_{1}] \}$

$\{u(t); t\in[0,t_{1}] \}$

$\text{is sufficient t determine the initial state }x_{0}$

 

 

discrete time과 마찬가지로 finite time $t_{1}$ 안에 output, input에 대해서 initial state를 추정할 수 있는 시스템을 observable하다고 합니다.

 

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2. Observability theorem (CT)

 

$\text{(a). The LTI continuous time system of order n}$

$\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(k)=Cx(t)+Du(t)$

$\text{ is observable.}$

 

$\text{(b). The observability grammian }$

$W_{o}(t_{1})=\int_{0}^{t_{1}}(A^{T})^{t}C^{T}CA^{t}dt$

$\text{is positive definite, for some finite time }t_{1}>0$

 

$\text{(c). The observability matrix }$

$Q=\begin{bmatrix} C\\CA\\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix}_{nr\times n}$

$\text{is rank n.(i.e. there an n linearly independent rows)}$

 

 

(증명 추가 예정)

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3. Observability theorem comments

 

1. Observable canonical pair

 

$A=\begin{bmatrix}-a_{2}&1&0\\-a_{1}&0&1\\-a_{0}&0&0\end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}$

 

이 system은 항상 observable합니다. 직접 observalbe matrix를 만들어보면 확인할 수 있습니다.

 

$Q=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-a_{2}&1&0\\(-a_{1}+a_{2}^{2})&-a_{2}&1\end{bmatrix}$

 

2. discrete time에서와 마찬가지로 observability grammian을 가지고

 

$W_{o}=\underset{t_{1}\rightarrow \infty}{\lim} W_{o}(t_{1})=\int_{0}^{\infty} e^{A^{T}t} C^{T} Ce^{At} dt$

 

이를 변형하여

 

$A^{T}W_{o}+W_{o}A=-C^{T}C$

 

Lyapunov equation을 만들 수 있습니다. A가 hurwitz라면 Positive definite solution $W_{o}$를 구할 수 있고, 이 시스템은 곧 observable합니다.

 

 

3. $\text{The observability results are dual of the controllability results}$

$\Rightarrow \text{The pair }\{A,C\}\text{ is observable if and only if the pair }\{A^{T},C^{T}\}\text{ is controllable.}$