[응용복소함수] Chap1 : Complex numbers

수업을 들으면서 수업 및 교재를 기반으로 정리글을 작성합니다. 강의와 교재를 기반으로 하기 때문에 대부분은 정확할 것이라 믿지만 잘못된 부분이 있다면 지적해주시면 감사하겠습니다. (제 개인적인 해설도 많이 들어가기 때문에 잘못 생각하는 부분이 있을 수 있습니다.)

 

책은 James Ward Brown, Ruel V. Churchill의 Complex Variables and Applications (9th edition)입니다.

 

출처 : 알라딘

---

Chapter1. Complex numbers

 

Sec 1. Sums and Products

 

Complex number($z$) Definition :

complex plane의 한 점 = pair (x,y) of real numbers

 

James Ward Brown, Ruel V. Churchill의 Complex Variables and Applications (9th edition)

(x,0) : point on the real axis

(y,0) : point on the imaginary axis

 

$x = Re(z)$

$y = Im(z)$

 

x는 z의 real parts, y는 z의 imaginary part라고 합니다.

 

$z_{1}=(x_{1},y_{1})$, $z_{2}=(x_{2},y_{2})$

두 complex number가 있을 때 sum과 product를 정의합니다.

 

Sum of two complex numbers ($z_{1}+z_{2}$) : (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})

Product of two complex numbers ($z_{1}z_{2}$) : (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})

 

당연한 것처럼 보이지만, complex number 정의가 pair (x,y)로부터 시작하기 때문에 sum과 product도 먼저 pair의 값으로부터 유도됩니다.

 

이를 $(x,y)=x+iy$이라는 점을 이용해서

 

$(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})$

$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})$

 

또한

$i \cdot i = -1$

$z\cdot 0 = 0$

 

 

Sec 2. Basic Algebraic Properties

 

 

Complex numbers의 addition과 multiplication에서 적용되는 법칙들 (real number에서와 유사한 것이 많음)

 

1) commutative law : $z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$, $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$

2) associative law : $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$, $(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$

3) distributive law : $z(z_{1}+z_{2})=zz_{1}+zz_{2}$

4) additive identity($0=(0,0)$) : $z+0=z$

5) multiplicative identity($1=(1,0)$)

6) additive inverse : $-z=(-x,-y) \Rightarrow z+(-z)=(0,0)$

7) multiplicative inverse : $z^{-1}=(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-y}{x^{2}+y^{2}})\Rightarrow zz^{-1}=(1,0)$ (주의 : $z\neq 0$)

 

 

Sec 3. Further Algebraic Properties

 

$\text{if a product }z_{1}z_{2}\text{ is zero, then so is at least one of the factors }z_{1}\text{ and }z_{2}$

 

substraction : additive inverse $z_{1}-z_{2}=(x_{1},y_{1})+(-x_{1},-y_{2})=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$

division : additive multiplicative inverse $\frac{z_{1}}{z_{2}}=(x_{1},y_{1})(\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}},\frac{-y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}})=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}$

$\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{3}}=(z_{1}+z_{2})z_{3}^{-1}=z_{1}z_{3}^{-1}+z_{2}z_{3}^{-1}=\frac{z_{1}}{z_{3}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}(z_{3}\neq 0)$

 

$\frac{1}{z_{2}}=z_{2}^{-1}$

binomial formula : $(z_{1}+z_{2})^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z_{1}^{k}z_{2}^{n-k}$ $(n=1,2,\ldots)$

 

 

---

Sec 4. Vectors and Moduli

 

Complex number를 complex plane에서 (x,y) 쌍의 점으로 볼 수도 있지만 원점에서 시작된 벡터로도 볼 수 있습니다.

 

James Ward Brown, Ruel V. Churchill의 Complex Variables and Applications (9th edition)

$z_{1}+z_{2} = (x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})$ : 두 벡터의 합

 

두 벡터의 차는 벡터의 방향을 바꿈으로써 벡터의 합으로 볼 수 있습니다.

$z_{1}-z_{2}=z_{1}+(-z_{2})$

또한 $(x_{2},y_{2})$에서 $(x_{1},y_{1})$로 지어주는 벡터로도 볼 수 있습니다.

 

modulus : $|z|=\sqrt(x^{2}+y^{2})$ : 벡터의 길이

$|z_{1}|<|z_{2}|$ : 어떤 값이 더 원점에 가까운지 비교

 

 

Sec 5. Triangle inequality

 

$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$

$|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$

 

증명은 기하학적으로, 대수적으로도 할 수 있습니다.

 

기하학적 증명은, 앞서 보았던 벡터의 계산에서 나타나던 삼각형을 생각하는 것입니다. 두 벡터의 합으로 나타나는 변은 다른 두 변의 합보다 반드시 작거나 같기 때문에 위의 첫번째 식이 성립합니다. 그리고 첫번째 식이 성립하면 두번째 식도 유도할 수 있습니다.

 

$|z_{1}|=|(z_{1}+z_{2})-z_{2}|\leq |z_{1}+z_{2}|+|-z_{2}|$

$|z_{1}|+|z_{2}|\geq|z_{1}|-|z_{2}|$

 

위의 경우는 $|z_{1}|>|z_{2}|$일 때이고 $|z_{1}|<|z_{2}|$일 때는

$|z_{1}+z_{2}|\geq -(|z_{1}-z_{2}|)$

 

 

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n}$

$|\frac{1}{P(z)}|<\frac{2}{|a_{n}|R^{n}}\text{ whenever }|z|>R$

 

$|z^{n}|=|z|^{n}$

 

---

Sec 6. Complex Conjugates

 

$z=x+iy$

$\bar{z}=x-iy$

 

$\bar{\bar{z}}=z$, $|\bar{z}|=|z|$

 

sum : $\bar{z_{1}+z_{2}}=\bar{z_{1}}+\bar{z_{1}}$

difference : $\bar{z_{1}-z_{2}}=\bar{z_{1}}-\bar{z_{2}}$

multiplication : $\bar{z_{1}z_{2}}=\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}$

division : $\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})}=\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}} (z_{2}\neq 0)$

 

$Re z =\frac{z+\bar{z}}{2}$ $Im x =\frac{z-\bar{z}}{2i}$

$z\bar{z}=|z|^{2}$

 

위 식을 통해 다음을 증명할 수 있습니다.

$|z_{1}z_{2}|^{2}=(z_{1}z_{2})(\bar{z_{1}z_{2}})=(z_{1}\bar{z_{1}})(z_{2}\bar{z_{2}})=|z_{1}|^{2}|z_{2}|^{2}=(|z_{1}||z_{2}|)^{2}$

 

 

Sec 7. Exponential Form

 

Polar form of complex number

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

 

$\theta : \text{argument of z}\Rightarrow \text{arg z : the set of all such values}$

$\text{Principal value of arg z : Arg z }\Rightarrow\text{unique value }-\pi<\theta\leq \pi$

$\text{arg z = Arg z }+2n\pi$ $(n=0,\pm 1, \pm 2,\ldots)$

 

Exponential form of complex number

$z=e^{i\theta}\because \text{ Euler's formula }e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$

 

 

Sec 8. Product and Powers in Exponential Form

 

$e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$

$\Rightarrow z_{1}z_{2}=r_{1}e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$

 

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}e^{i\theta_{1}}}{r_{2}e^{i\theta_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\frac{e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}}{e^{i0}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}$

$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1e^{i 0}}{re^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{i(0-\theta)}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$

 

$z^{n}=r^{n}e^{i n\theta}$ $(n=0,\pm 1, \pm 2,\ldots)$

$z^{m+1}=r^{m+1}e^{i(m+1)\theta}$

 

$\text{de Moivre's formula}$

$(\cos\theta + i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+\sin n\theta$ $(n=0,\pm 1, \pm 2, \ldots)$

 

이를 가지고 $2\theta$에 대해서 구할 수 있습니다.

$(\cos \theta + i \sin \theta)^{2}=(e^{i 2\theta})=\cos 2\theta + i \sin 2\theta$

$\cos 2\theta = \cos^{2} \theta - \sin^{2}\theta$

$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$

 

 

Sec 9. Augments of products and quotients

 

$z_{1}z_{2}=(r_{1}r_{2})e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$

$\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}$

 

$\arg(\frac{z_{1}}{z_{2}})=\arg(z_{1}z_{2}^{-1})=\arg z_{1}+\arg(z_{2}^{-1})=\arg z_{1}-\arg z_{2}$

 

 

Sec 10. Roots of Complex Numbers

 

$z^{n}=r_{0}e^{i\theta_{0}}$

$z=\sqrt[n]{r_{0}} \exp[i(\frac{\theta_{0}{n}}+\frac{2k\pi}{n})]$ $(k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots)$

 

distinct root :

$c_{k}=\sqrt[n]{r_{0}} \exp[i(\frac{\theta_{0}}{n}+\frac{2k\pi}{n})]$ $(k=0,1,2,\ldots,n-1)$

$c_{k}=\sqrt[n]{r_{0}} \exp(i\frac{\theta_{0}}{n})\exp(i\frac{2 k\pi}{n})$ $(k=0,1,2,\ldots,n-1)$

$c_{0}$는 principal root입니다.

 

$\omega_{n}^{k}=\exp(i\frac{2k\pi}{n})$ $(k=0,1,2,\ldots,n-1)$

$c_{k}=c_{0}\omega_{n}^{k}$ $(k=0,1,2,\ldots,n-1)$

 

 

 

Sec 11. Examples

 

$1,\omega_{n},\omega_{n},\ldots,\omega_{n}^{n-1} \text{ where }\omega_{n}=\exp(i\frac{2\pi}{n})$

 

$n=3,4,6$의 case가 바로 위 그림입니다.

 

 

Sec 12. Regions in the Complex Plane

앞으로 배울 극한 및 미분 개념 때문에, neighborhood, set, boundary 등의 개념을 다루게 됩니다.

 

 

$\varepsilon\text{-neighborhood}$

$|z-z_{0}|<\varepsilon\text{ of a given point }z_{0}$

 

$\text{deleted neighborhood}$

$0<|z-z_{0}|<\varepsilon$

$\varepsilon$ neighborhood와 비슷하지만 $z_{0}$를 제외한 neighborhood.

 

Interior point :

$\text{A point }z_{0}\text{ is said to be an interior point of a set S}$

$\text{whenever there is some neighborhood of }z_{0}\text{ that contains only points of S}$

 

Exterior point : 

$\text{There exists a neighborhood of it containing no points of S}$

 

Boundary point : 

$\text{A boundary point is, therefore, a point all of whose neighborhoods}$

$\text{contain at least one point in S and at least one point not in S}$

 

Boundary :

$\text{Totality of all boundary points}$

 

A set is open if it does not contain any of its boundary points.

A set is closed if it contains all of its boundary points

Some sets are neither open nor closed

 

Closure of a set S : the closed set consisting of all points in S together with the boundary of S.

 

An open set S its connected if each pair of points z1 and z2 in it can be joined by a polygonal line, consisting of a finite number of line segments joined end to end, that lies entirely in S.

 

Domain : a nonempty open set that is connected

Region : a domain together with some, none, or all of its boundary points

 

accumulatation point(limit point) $z_{0}$ of a set S : if each deleted neighborhood of $z_{0}$ contains at least one point of S

 

A set is closed if and only if it contains all of its accumulation points

 

정의에 따라, set S에 속한 적어도 한 개의 point라도 포함하지 않는 some deleted neighborhood이 존재한다면, point는 accumulation point of a set S이 아니다.

 

Note : origin is the only accumulation point of the set

$z_{n}=\frac{i}{n}$ $(n=1,2,\ldots)$