이전에 f(z)f(z)를 두 real-valued function u(x,y)+iv(x,y)u(x,y)+iv(x,y)으로 볼 수 있다는 것을 배웠습니다.
당연히 f′(z)와 u(x,y),v(x,y)의 derivatives와도 연관성이 있을 것입니다.
만약 f′(z)가 존재한다면, u(x,y),v(x,y)의 first-order partial derivatives가 만족해야만 하는 조건이 있습니다.
이를 통해 f′(z0)를 u,v에 대해서 표현하는 방법도 알게 될 것입니다.
Cauchy-Riemann equation은 그에 대한 내용입니다.
first-order partial derivatives of the component functions u and v of a function
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
z0=x0+iy0
Δw=f(z0+Δz)−f(z0)
⇒Δw=[u(x0+Δx,y0+Δy)+iv(x0+Δx,y0+Δy)]−[u(x0,y0)+iv(x0,y0)]
ΔwΔz=u(x0+Δx,y0+Δy)−u(x0,y0)Δx+iΔy+iv(x0+Δx,y0+Δy)−v(x0,y0)Δx+iΔy
lim(Δx,Δy)→0ΔwΔz이 존재하기 위해서는 (Δx,Δy)→(0,0)로 보내는 어떤 방향에서든 위의 값이 동일해야합니다.
Horizontal approach

f′(z0)=limΔx→0u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)Δx+ilimΔx→0v(x0+Δx,y0)−v(x0,y0)Δx
위의 lim는 u,v에 대한 partial derivatives로 볼 수 있습니다.
f′(z0)=ux(x0,y0)+ivx(x0,y0)⋯(1)
Vertical approach
f′(z0)=limΔy→0u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)iΔy+ilimΔy→0v(x0,y0+Δy)−v(x0,y0)iΔy
정리하면
f′(z0)=limΔy→0v(x0,y0+Δy)−v(x0,y0)Δy−ilimΔy→0u(x0,y0+Δy)−u(x0,y0)Δy
f′(z0)=vy(x0,y0)−iuy(x0,y0)⋯(2)
지속적으로 limit, derivatives에서 말했던 것처럼 limit가 존재하기 위해서는 어떤 manner로 극한에 접근하든 unique한 값을 가져야합니다. 즉, 위 식의 (1),(2)에서 f′(z0)가 존재하기 위해서는 같은 값이어야 합니다.
이 말은 곧, f′(z0)의 존재를 위한 필요조건(necessary condition)이라는 뜻입니다.
따라서
ux(x0,y0)=vy(x0,y0) and uy(x0,y0)=−vx(x0,y0)
이 방정식이 바로 Cauchy-Riemann equations입니다.
최종적으로 Theorem으로 정리하면 다음과 같습니다.
Theorem : Cauchy-Riemann equations
Suppose that f(z)=u(x,y)+iv(x,y) and that f′(z) exists at a point z0=x0+iy0.
Then the first-order partial derivatives of u and v must exist at (x0,y0)
and they must satisfy the Cauchy-Riemann equations
ux=vy,uy=−vx
f′(z0) can be written f′(z0)=ux+ivx
where these partial derivatives are to be evaluated at (x0,y0)
정리하면, 어떤 점 z0에서 f의 derivatives가 존재할 조건을 Cauchy-Riemann equation으로 알 수 있으며, (x0,y0)에서의 derivatives를 f′(z0)=ux+ivx으로 u,v의 partial derivatives를 구함으로써 알 수 있습니다.
Sec 22. Examples
Cauchy-Riemann equation을 통해 derivatives에 대한 필요조건을 테스트해볼 수는 있디만, Cauchy-Riemann equation이 성립한다고 해서 반드시 그 점에서 derivatives가 존재하는 것은 아닙니다.
example 1. Cauchy-Riemann equation을 만족하는 사례
f(z)=z2=x2−y2+i2xy
ux=2x=vy,uy=−2y=−vx
⇒f′(z)=ux+ivx=2x+i2y=2z
example 2. 특정 점에서만 Cauchy-Riemann equation을 만족하면서 그 점에서 derivatives가 있는 사례
f(z)=|z|2
u(x,y)=x2+y2 and v(x,y)=0
Cauchy-Riemann equation이 성립하는지 확인해보겠습니다.
ux=2x=vy=0
uy=2y=−vx=0
(x,y)=(0,0)이면 위의 방정식이 성립합니다.
여기서 주의할 점은 이 함수가 원점에서 Cauchy-Riemann equation이 성립한다고 해서 반드시 f′(0)이 존재한다고 결론내릴 수 없다는 점입니다.
다음 section에서는 existence of derivatives의 필요충분조건을 알게되며, 이 예시에서 원점에 derivatives가 존재합니다.
example 3. 특정 점에서만 Cauchy-Riemann equation을 만족하면서 그 점에서 derivatives가 없는 사례
f(z)={¯z2z when z≠00 when z=0
u(x,y)=x3−3xy2x2+y2
v(x,y)=y3−3x2yx2+y2
이 결과는 (x,y)≠(0,0)일 때입니다.
원점에서의 partial derivatives 값을 알아보도록 하겠습니다.
ux(0,0)=limΔx→0u(0+Δx,0)−u(0,0)Δx=limΔx→0ΔxΔx=1
vy(0,0)=limΔy→0v(0,0+Δy)−v(0,0)Δy=limΔy→0ΔyΔy=1
원점에서 Cauchy-Riemann equation이 성립합니다. 하지만 이 함수는 원점에서 derivatives가 존재하지 않습니다.
u,v말고 f′(z)에 대하여 derivatives를 구했을 때
$\Delta y=\Delta x \ line을 따라서 원점에 접근하는 경우를 구해보도록 하겠습니다.
limΔz→0ΔwΔz=limΔz→0f(0+Δz)−f(0)Δ=limΔz→0¯Δz2Δz−0Δz=limΔz→0¯Δz2(Δz)2
Δz=(Δx,Δx)
Δz=Δx+iΔx
(Δz)2=(Δx)2−(Δx)2+2iΔx=2iΔx
(¯Δz)2=(Δx)2−(Δx)2+2iΔx=−2iΔx
limΔz→0ΔwΔz=2iΔx−2iΔx=−1
Δy=Δx일 때는 derivatives 값이 -1이므로 unique하지 않습니다. 따라서 이 함수는 원점에서 derivatives가 존재하지 않습니다.
Sec 23. Sufficient Conditions For Differentiability
z0에서 Cauchy-Riemann equation을 만족한다고 해서 derivative of a function f(z) at that point가 존재하기에 충분한 것은 아닙니다.
따라서 differentiability의 충분조건(sufficient conditions)을 알려주는 theorem을 알아보겠습니다.
Theorem. Let the function f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
be defined throughout some ε neighborhood of a point z0=x0+iy0, and suppose that
(a). the first-order partial derivatives of the functions u and v
with respect to x and y exist everywhere in the neighborhood
(b). those partial derivatives are continuous at (x0,y0)
and satisfy the Cauchy-Riemann equations ux=vy,uy=−vx at (x0,y0)
then f′(z0) exists, its value being f′(z0)=ux+ivx where the right-hand side is to be evaluated at (x0,y0)
(a)조건은 u(x,y),v(x,y)가 모든 점에서 first partial derivatives가 존재해야한다는 점이고,
(b)조건은 특정 점 z0=(x0,y0)에서 partial derivatives가 continuous하면서 Cauchy-Riemann equations을 만족해야합니다.
위의 example을 다시 생각해봅시다.
example2는
f(z)=|z|2
u(x,y)=x2+y2 and v(x,y)=0
ux=2x,vy=0
uy=2y,vx=0
모든 점(z=(x,y))에서 first partial derivatives가 존재하고, 원점에서 continuous하면서 Cauchy-Riemann equation이 성립하므로 derivative f′(0)이 존재합니다.
반면에 example3는
f(z)={¯z2z when z≠00 when z=0
u(x,y)=x3−3xy2x2+y2, where z≠0
v(x,y)=y3−3x2yx2+y2, where z≠0
위 식을 이용해서 구한
ux=(x2+y2)(3x2−3y2)−2x(x3−3xy2)(x2+y2)2=x4+6x2y2−3y4x4+2x2y2+y4
vy=(x2+y2)(3y2−3x2)−2y(y3−3x2y)(x2+y2)2=−3x4+6x2y2+y4x4+2x2y2+y4
ux(0,0)=1임을
ux(0,0)=limΔx→0u(0+Δx,0)−u(0,0)Δx=limΔx→0ΔxΔx=1
위에서 정의를 통해 알아냈으므로
우리는 ux(x,y), where (x,y)≠(0,0)가 원점으로 갈 때 ux(0,0)과 같음으로써 continuous한 조건을 만족해야 derivatives가 존재한다는 것을 Theorem을 통해 알고 있습니다.
즉, lim(x,y)→(0,0)ux=ux(0,0)=1 이 성립해야합니다.
x axis에 대해 극한을 취하도록 하겠습니다. y=0일 때 limx→0x4+6x2⋅02−3⋅04x4+2x2⋅02+04=limx→0x4x4=1
y axis에 대해 극한을 취하도록 하겠습니다.
limy→004+6⋅02y2−3y404+2⋅02y2+y4=limy→0−3y4y4=−3
두 방향에서의 극한값이 다르므로 원점에서 continuous하지 않습니다.
따라서 위의 theorem의 continuous 조건이 맞지 않으므로 derivatives f′(0)는 존재하지 않습니다.
Sec 24. Polar Coordinates
z=reiθ→x=rcosθ,y=rsinθ
이번에는 앞에서 다루었던 derivatives를 r과 θ에 대해서 알아보려고 합니다.
∂u∂r=∂u∂x∂x∂r+∂u∂y∂y∂r
∂u∂θ=∂u∂x∂x∂θ+∂u∂y∂y∂θ
위의 식을 이용해서 ur,uθ,vr,vθ를 구해보도록 하겠습니다.
ur=uxcosθ+uysinθ,uθ=−uxrsinθ+uyrcosθ
vr=vxcosθ+vysinθ,vθ=−vxrsinθ+vyrcosθ
만약에 Cauchy-Riemann equations을 만족한다면
ux=vy,uy=−vx
vr=−uycosθ+uxsinθ,vθ=r(uysinθ+uxcosθ)
∴rur=vθ,uθ=−rvr
Theorem)
Let the function f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)
be defined throughout some ε neighborhood of a nonzero point z0=r0exp(iθ0), and suppose that
(a). the first-order partial derivatives of the functions u and v with respect to r and θ
exist everywhere in the neighborhood;
(b). those partial derivatives are continuous at (r0,θ0) and satisfy the polar form
rur=vθ,uθ=−rvr
of the Cauchy-Riemann equations at (r0,θ0)
Then f′(z0)=e−iθ(ur+ivr)
f′(z0)=e−iθ(ur+ivr)임을 보이겠습니다.
기본적으로 f′(z)=ux+ivx를 ur,vr로 바꾸기 위한 과정이라고 보시면 됩니다.

다음에는 analytic function에 대한 내용을 정리하겠습니다.
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