[응용복소함수] Chap2 : Derivatives

Sec 19. Derivatives

 

Derivatives의 정의 : 

 

$f \text{ is a function whose domain of definition contains a neighborhood }|z-z_{0}|<\varepsilon \text{ of a point }z_{0}$

$\text{The derivative of f at }z_{0}\text{ is the limit }f^{'}(z_{0})=\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$

 

limit의 정의를 떠올린다면

$|\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}-f^{'}(z_{0})|<\varepsilon \text{ whenever }|\Delta z|<\delta$

for each positive $\varepsilon$, positive number $\delta$가 존재합니다.

 

$\text{The function f is said to be differentiable at }z_{0}\text{ when }f'(z_{0}) exists.$

$f'(z_{0})$이 존재할 경우에 differentiable하다고 말할 수 있습니다.

 

$\Delta z = z-z_{0} (z\neq z_{0})$

$f^{'}(z_{0})=\underset{\Delta \rightarrow 0}{\lim}\frac{f(z_{0}-\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}$

 

$\Delta w = f(z+\Delta z)-f(z)$ : change $\Delta z$에 해당하는 $w=f(z)$의 변화량

$\frac{dw}{dz}=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\Delta w}{\Delta z}$

 

 

 

여기서는 example이 몇 개 있는데 example이 다 중요해서 짚고 넘어가려고 합니다.

 

$\text{example 1) }$

이 예제는 위의 정의를 가지고 z에 대해 함수를 미분하는 과정을 보여줍니다.

 

$f(z)=1/z \text{, where }z\neq 0$

$\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\left ( \frac{1}{z+\Delta z}-\frac{1}{z}\right )\frac{1}{\Delta}=\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\frac{-1}{(z+\Delta z)z}$

그 결과 $\frac{dw}{dz}=-\frac{1}{z^{2}} \text{ or }f^{'}(z)=-\frac{1}{z^{2}}$

 

 

$\text{example 2) }$

$\text{If }f(z)=\overline{z}\text{, then }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z}=\frac{\overline{z}+\overline{\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$

 

어떤 방식으로든 $\Delta z=(\Delta x, \Delta y)$를 origin $(0,0)$으로 approach하게 만들었을 때 $\frac{\Delta w}{\Delta z}$의 limit는 같은 값이 나와야합니다.

 

이전에 limit를 구할 때처럼, real axis와 imaginary axis에 대해서 limit를 취해주기로 합니다.

Real axis 방향으로 극한을 취하는 경우 $\overline{\Delta z}=\Delta z$

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\Delta}{\Delta}=1$

 

Imaginary axis 방향으로 극한을 취하는 경우 $\overline{\Delta z}=-\Delta z$

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{-\Delta z}{\Delta z}=-1$

 

limit가 unique하지 않으므로 $dw/dz$는 존재하지 않습니다.

 

 

$\text{example 3) }$

$f(z)=|z|^{2} \Rightarrow u(x,y)=x^{2}+y^{2}, v(x,y)=0$

 

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{|z+\Delta z|^{2}-|z|^{2}}{\Delta}=\frac{(z+\Delta z)(\overline{z+\Delta z})-z\overline{z}}{\Delta}$

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\overline{z}+\overline{\Delta z}+z\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$

 

real axis(horizontal approach) : $\overline{\Delta z}=\Delta z$

imaginary axis(vertical approach) : $\overline{\Delta z}=-\Delta z$

 

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\overline{z}+\Delta z+z \text{ when }\Delta z=(\Delta x, 0)$

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\overline{z}-\Delta z -z \text{ when }\Delta = (0,\Delta y)$

 

$\overline{z}+z=\overline{z}-z$

$z=0$일 때만 성립되고 $z\neq 0$일 때 $dw/dz$는 존재하지 않습니다.

 

$\frac{dw}{dz}\text{ exists only at }z=0\text{, its value there being 0}$

 

이를 통해 알 수 있는 사실은 다음과 같습니다.

 

1. 이 예제에서 $u(x,y)=x^{2}+y^{2}$, $v(x,y)=0$이므로 각각의 real, imaginary components of a function of a complex variable이 continuous partial derivatives of all orders at a point $z=(x,y)$를 갖는다고 해도 function of z는 differentiable하지 않을 수 있습니다.

2. The continuity of a function of a complex variable at a point does not imply the existence of its derivative there.

3. The existence of the derivative of a function at a point implies the continuity of the function at that point.

 

3번 증명

 

$f^{'}(z_{0})$가 있다고 가정하겠습니다.

$\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim} \left [ f(z)-f(z_{0}) \right ]=underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}(z-z_{0})=f^{'}(z_{0})\cdot 0 = 0$

 

이 식으로 $underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)=f(z_{0})$임을 증명할 수 있으므로 continuity가 성립합니다.

 

 

 

Sec 20. Rules For Differentiation

 

 

Differentiation rule은 calculus에서 다룬 것과 유사합니다.

 

$\frac{d}{dz}c=0, \frac{d}{dz}=1, \frac{d}{dz}[cf(z)]=cf^{'}(z)$

$\frac{d}{dz}z^{n}=nz^{n-1}\text{, n is integer and if n is negative integer, }z\neq0$

 

$\frac{d}{dz}\left[f(z)+g(z)\right]=f^{'}(z)+g^{'}(z)$

$\frac{d}{dz}\left[ f(z)g(z)\right ]=f(z)g^{'}(z)+f^{'}(z)g(z)$

$\frac{d}{dz}\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]=\frac{g(z)f^{'}(z)-f(z)g^{'}(z)}{[g(z)]^{2}} \text{, when }g(z)\neq 0$

 

$\text{chain rule : }$

$F(z)=g[f(z)]$

$F^{'}(z_{0})=g[f(z)]$

 

다른 방식으로 $w=f(z)\text{ and }W=g(w)\rightarrow W=F(z)$

$\frac{dW}{dz}=\frac{dW}{dw}\frac{dw}{dz}$

 

 

• Chain rule을 유도하는 방법

$\text{Assumption : }f^{'}(z)\text{ exists, }w_{0}=f(z_{0})\text{ and }g^{'}(w_{0})\text{ exists.}$

$\text{in some neighborhood }|w-w_{0}|<\varepsilon \text{ of }w_{0}$

이 neighborhood에 속한 모든 w에 대해서 정의된 a function $\Phi (w)$가 있습니다.

$\Phi(w_{0})=0\cdots (1)$이면서

$\Phi(w)=\frac{g(w)-g(w_{0})}{w-w_{0}}-g^{'}(w_{0})\text{ when }w\neq w_{0} \cdots (2)$

 

derivative $g^{'}(w_{0})$이 존재하므로 아래와 같은 식이 성립합니다.

$\underset{w\rightarrow w_{0}}{\lim}\Phi (w)=0\cdots(3)$

따라서 $\Phi \text{ is continuous at }w_{0}$

 

(2)식을 변형하면

$g(w)-g(w_{0})=[g^{'}(w_{0})+\Phi(w)](w-w_{0})\text{, where }(|w-w_{0}|<\varepsilon)$

 

이 식은 $w=w_{0}$에서도 성립합니다. $f^{'}(z_{0})$가 존재하기 때문에 f는 $z_{0}$에서 continuous하고, $|w-w_{0}|<\varepsilon\text{ if z lies in the }\delta\text{  neighborhood  } |z-z_{0}|<\delta$를 만족시키는 positive number $\delta$가 존재합니다. 따라서 $|z-z_{0}|<\delta$일 때 w 대신 f(z)를 사용해도 문제가 되지 않으므로 $w=f(z),w_{0}=f(z_{0})$를 사용해서 위 식을 표현합니다.

 

$\frac{g[f(z)]-g[f(z_{0})]}{z-z_{0}}=\left \{ g^{'}[f(z_{0})]+\Phi [f(z)]\right\}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$ $(0<|z-z_{0}|<\delta)$

 

$z-z_{0}$으로 나누기 위해 $z\neq z_{0}$입니다. 양변에 극한을 취하게 될 텐데 문제는 $\Phi [f(z)]$의 극한값이 무엇인지 모릅니다.

 

위의 (3)번 식에서 $\Phi$가 $w_{0}$에서 continuous하며, f 역시 $z_{0}$에서 continuous하므로 $\Phi[f(z)]$ 역시 $z_{0}$에서 continuous함을 알 수 있습니다.

 

따라서 

$\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\Phi [f(z)]=0=\Phi(w_{0})=\Phi [f(z_{0})]$

 

이제 다시 

$\frac{g[f(z)]-g[f(z_{0})]}{z-z_{0}}=\left \{ g^{'}[f(z_{0})]+\Phi [f(z)]\right\}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$ $(0<|z-z_{0}|<\delta)$

 

이 식에서 양변에 $\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}$을 취하면

$\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}\frac{g[f(z)]-g[f(z_{0})]}{z-z_{0}}=F^{'}(z_{0})=g^{'}[f(z_{0})]*f^{'}(z_{0})$

 

 

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이 글에 있는 그림의 출처 : James Ward Brown, Ruel V. Churchill의 Complex Variables and Applications (9th edition)