[고체역학] Statics Ch2 : Statics of Particles

(이 글의 자료들은 모두 교재에서 나온 것이므로, 다른 곳으로 가져가지 말아주세요)

 

 

우리가 고체역학에서 다루는 문제, 그리고 시스템은 비록 부피와 질량이 있지만, 부피와 질량을 고려할 필요가 없는 상황에서는 물체를 particle로 생각하고 그 particle에 대한 force와 moment를 구해서 계산하는 것이 더 편리합니다.

 

a particle 하나에 여러 힘이 작용할 때 그 힘과 동일하게 작용하는 힘을 resultant force라고 합니다.

resultant force를 구하는 것은 물체의 평형(equilibrium)을 따질 때 도움이 됩니다.

 

 

1. Force

 

force는 point of application, magnitude, line of action, 그리고 sense로 특정할 수 있습니다.

 

다음과 같은 force가 있을 때 A가 point of application(작용점), 그리고 10N이 magnitude, force가 작용하는 선을 무한하게 늘린 것이 line of action입니다. line of action(작용선)은 fixed axis와 어떤 각도를 가지고 있는지로 정해질 수 있습니다. 또한 sense는 화살표가 가리키는 방향입니다.

아래 그림은 위의 그림과 같은 line of action, magnitude를 가졌지만 sense가 다른 예시입니다.

 

 

 

또한 force에 대한 설명에서 알 수 있는 것처럼 force는 vector라고 할 수 있습니다.

 

 

2. Vector

 

물리량 중에서는 scalar, vector, tensor,... 등으로 분류할 수 있습니다.

scalar는 magnitude을 가지고 방향은 없는 물리량입니다. 예를 들면, mass, volume, temperature가 있습니다.

 

vector는 scalar와 같이 magnitude가 있으면서 direction을 가지고 있는 물리량입니다.

고등학교 때 물리를 배우면 속도와 속력의 차이에 대해서 배우는데, 속도가 벡터이고 속력은 스칼라입니다.

displacement(변위), velocity(속도), acceleration(가속도) 모두 벡터입니다.

 

또한 vector도 분류를 할 수 있습니다. (나중에 고체역학의 많은 내용을 이해하는데에 중요한 내용입니다.)

• Fixed or bound vectors : defined points of application(정해진 작용점)이 있어서 문제 조건을 바꾸지 않는 이상 바뀔 수 없는 vectors
• Free vectors : 공간에서 자유롭게 움직일 수 있는 vectors를 free vectors라고 합니다.
• Sliding vectors : lines of action을 따라서 움직일 수 있는 vectors를 sliding vectors라고 합니다. 

 

 

2.1. Additive of vectors

vector의 합은 다들 익숙한 것처럼, 평행사변형을 그려서 구하는 방법(Trapezoid rule) 또는 삼각형을 그려서 구하는 방법(Triangle rule) 중 하나를 사용하면 됩니다.

 

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{P}$ (commutative)

 

 

 

 

Trapezoid rule

Triangle rule

 

벡터의 각도를 구하기 위해서 코사인 법칙이나, 사인 법칙을 이용할 수도 있습니다.

 

출처 : 위키피디아, David Weisman

$\text{Law of cosine : }c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

$\text{Law of sine : }\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

 

vector의 substraction은 additive의 변형입니다.

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{P}+(-\overrightarrow{Q})$

 

 

2.2. Concurrent forces

 

concurrent forces P,Q,S를 R 벡터로 표현한 것

동일한 point에 작용하는 forces들의 집합 (set of forces which all pass through the same point)

 

한 점에 작용하는 concurrent forces는 a single resultant force로 표현할 수 있고, 이 resultant force는 작용한 힘들의 vector sum입니다.

 

 

2.3. Rectangular components of force : Unit vectors

 

2.2. 파트에서 같은 점에 작용하는 여러 개의 힘들을 하나의 Resultant force로 나타낼 수 있다고 했습니다. 이를 역으로 생각하면 하나의 Resultant force를 다른 힘들로 분해할 수 있다는 뜻도 됩니다.

 

따라서 우리는 고정된 축에서 force를 해석하기 위해 특정 force vector를 수직한 벡터 components로 분해할 수 있습니다.

 

위의 그림에서 $\vec{F}=\vec{F_{x}}-\vec{F_{y}}$로 분해한 것을 볼 수 있습니다.

만약 이 수직한 x축과 y축에 대해 unit vector $\vec{i},\vec{j}$로 정의한다면

 

 

$\vec{F}=\vec{F_{x}}-\vec{F_{y}}$를 더 나아가서

$\vec{F}=F_{x}\vec{i}+F_{y}\vec{j}$

각 unit vector를 scaling한 다음에 합한 것으로 볼 수 있습니다.

 

이 수직한 unit vector들은 내적이나 외적을 할 때 유리한 측면이 있기 때문에 이렇게 표현하는 방법도 배우게 됩니다.

 

그래서 resultant force를 구할 때도 concurrent force의 x component와 y component의 합으로 구할 수 있습니다.

 

 

만약 이 점에서 equilibrium of a particle이면 $R_{x}=0, R_{y}=0$입니다.

 

2.4. Expressing a vector in 3D space

 

다음과 같은 3차원 벡터가 있을 때는 $\vec{F}$와 y축 사이의 각도 $\theta_{y}$, F를 xz 평면에 projection한 다음에 x축과 이루는 각도 $\phi$를 알고 있으면 쉽게 분해할 수 있습니다.

 

$F_{y}=F\cos \theta_{y}$

$F_{x}=F\sin \theta_{y} \cos \phi$

$F_{z}=F\sin \theta_{y} \sin \phi$

 

또는 이렇게 하는 것이 아니라 아예 F와 동일한 방향의 단위 벡터를 구해서 표현할 수도 있습니다.

 

 

$\vec{F}$가 x,y,z축과 $\theta_{x},\theta_{y},\theta_{z}$ 각도를 가지고 있을 때

 

다음과 같이 표현할 수 있습니다.

꼭 $\theta_{x,y,z}$를 알지 못하더라도 각 좌표를 알고 있으면 길이 비를 이용해서 cosine값을 알 수 있으므로 유용한 방법입니다.

 

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다음에는 force와 moment에 대해서 자세히 다루도록 하겠습니다.