[제어] Lyapunov stability theorem 증명

조금이라도 제어에 대해 공부한 사람이라면 한 번쯤 들어볼 법한, Lyapunov stability theorem.

 

이 Lyapunov stability theorem에 대한 증명은 Khalil의 Nonlinear control에 잘 나와있다.

처음에 그냥 읽으면 무슨 소리인지 납득이 안되는 부분이 있는 것 같아서, 증명을 이해하는 연결다리를 써보고자 글을 쓴다.

---

Lyapunov stability theorem

 

$\text{If there is }V(x)\text{ such that }V(0)=0\text{ and }V(x)>0,\; \forall x\in D\text{ with }x\neq 0$

$\dot{V}(x)\leq 0\; \forall x\in D$

$\text{then the origin is a stable.}$

 

$\text{if }\dot{V}(x)<0, \; \forall x\in D \text{ with }x\neq 0$

$\text{then the origin is asymptotically stable.}$

---

여기서 stable의 정의를 알아야 한다.

$\text{The equilibrium point }x=0 \text{ of }\dot{x}=f(x)\text{ is}$

$\text{stable if for each }\varepsilon>0\text{ there is }\delta>0 (\text{dependent on }\varepsilon )\text{ such that}$

$\|x(0)\|<\delta \Rightarrow\|x(t)\|<\varepsilon, \quad \forall t \geq 0$

 

위의 theorem을 통해서 $V(x)$가 위 조건을 만족하면 stability 정의를 만족하는지 확인해야한다.

 

$x$는 n차원 state vector이다.

$0<r\leq \varepsilon$일 때, $\|x\|\leq r$ 조건을 가진 ball $B_{r}$이 있다고 하자.

이 set을 $B_{r}=\{ \|x\|\leq r\}$로 표기할 수 있다.

 

여기서 ball 안의 점들이 곧 state들의 집합이다. 이 ball의 boundary에서 가장 작은 $V(x)$ 값을 찾는다.

 

$\alpha=\min _{\|x\|=r} V(x)>0$

 

이 값보다 더 작은 $0<\beta<\alpha$를 잡고 set $\Omega_{\beta}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

$\Omega_\beta=\left\{x \in B_r \mid V(x) \leq \beta\right\}$

 

여기서 $\Omega_{\beta}$는 무조건 $B_{r}$ 안에 속할 수 밖에 없다. ($x$가 $B_{r}$에 포함되므로 바깥에 존재할 수 없고, 이 말은 boundary에 존재하는 원소가 없다는 뜻이다.) 이는 앞서 우리가 정한 $\alpha$의 정의로부터 증명할 수 있다.

예를 들어 $\Omega_{\beta}$의 원소 중에 어떤 것이 $B_{r}$의 boundary에 있는 $\hat{x}$가 있다고 하자. 이 때, $V(\hat{x})\geq\alpha$일 수 밖에 없다. 왜냐하면 $\alpha$가 $\min _{\|x\|=r} V(x)>0$으로 정의되었기 때문이다.

 

그런데 $V_{\hat{x}}\leq \beta$이므로 위의 $V(\hat{x})\geq\alpha$와 모순이 된다. 따라서 $\hat{x}$은 반드시 $B_{r}$ 내부에 존재하게 된다.

 

이렇게 했을 때 만약 Lyapunov stability theorem에서 조건으로 말한 것처럼

$\text{If there is }V(x)\text{ such that }V(0)=0\text{ and }V(x)>0,\; \forall x\in D\text{ with }x\neq 0$

$\dot{V}(x)\leq 0\; \forall x\in D$

 

$V(x)$가 위 조건을 만족한다면 $\Omega_{\beta}$에 속한 초기 state들은 시간이 지난 이후에도 계속 $\Omega_{\beta}$ 안에 머물게 된다.

 

$\dot{V}(x(t)) \leq 0 \; \Rightarrow \; V(x(t)) \leq V(x(0)) \leq \beta, \; \forall t\geq 0$

 

 

 

또한 $V(x)$는 continuous하고 $V(0)=0$이면 continuity 정의에 따라 $x=0$의 $\delta$ neighborhood가 있을 때 $V(x)$ 역시 $\epsilon$ 범위 안에 있음을 알 수 있다.

 

continuous 정의 : 위키피디아 참조 (또는 미적분학 교과서에는 반드시 있는 내용)

 

따라서 $\delta > 0$에 대하여 다음을 만족시킬 수 있다.

$\|x\| \leq 0 \; \Rightarrow V(x) < \beta$

 

ball $B_{\delta}\subset \Omega_{\beta} \subset B_{r}$ 관계가 성립된다.

이 말은 곧,

 

$\|x(0)\| \in B_{\delta} $이면 $x(0)\in \Omega_{\beta}$이다.

$\Omega_{\beta}$에 속한 state들은 계속 그 안에 머물기 때문에

$\|x(t)\| \in \Omega_{\beta} \subset B_{r},\; \forall t\geq 0$를 만족한다.

 

이 증명을 시작할 때 $0<r\leq \varepsilon$이었던 것을 기억하자.

따라서 stability 정의대로

$\|x(0)\|<\delta \Rightarrow\|x(t)\|<\varepsilon, \quad \forall t \geq 0$을 만족하므로

Equilibrium point $x=0$는 stable하다.

 

여기서 $x=0$ 원점을 잡은 것은 변수를 다르게 잡아 원점 이동이 가능하기 때문에 어떤 equilibrium point라도 일반화시킬 수 있다. 즉 $x=3$이 원점이었어도 $\tilde{x}=x-3$으로 잡아서 원점이 stable함을 보이는 것과 동일하므로 $x=3$도 stable함을 Lyapunov로 보일 수 있다는 뜻이다.

 

---

 

참고로 $\Omega_{\beta}$가 compact set이라는 사실을 통해 $\dot{x}=f(x)$의 solution이 unique함을 증명할 수 있다. compact set은 closed and bounded set인데,

closed set인 것은 정의를 통해 알 수 있고, ($\Omega_\beta=\left\{x \in B_r \mid V(x) \leq \beta\right\}$)

bounded set인 것은 $B_{r}$ 내부에 속해 있어야한다는 점에서 알 수 있다.

 

이렇게 compact set인 것을 밝히면 다음 lemma를 통해 $\dot{x}=f(x)$가 unique solution을 가짐을 알 수 있다.