조금이라도 제어에 대해 공부한 사람이라면 한 번쯤 들어볼 법한, Lyapunov stability theorem.
이 Lyapunov stability theorem에 대한 증명은 Khalil의 Nonlinear control에 잘 나와있다.
처음에 그냥 읽으면 무슨 소리인지 납득이 안되는 부분이 있는 것 같아서, 증명을 이해하는 연결다리를 써보고자 글을 쓴다.
Lyapunov stability theorem
If there is V(x) such that V(0)=0 and V(x)>0,∀x∈D with x≠0
˙V(x)≤0∀x∈D
then the origin is a stable.
if ˙V(x)<0,∀x∈D with x≠0
then the origin is asymptotically stable.
여기서 stable의 정의를 알아야 한다.
The equilibrium point x=0 of ˙x=f(x) is
stable if for each ε>0 there is δ>0(dependent on ε) such that
‖x(0)‖<δ⇒‖x(t)‖<ε,∀t≥0
위의 theorem을 통해서 V(x)가 위 조건을 만족하면 stability 정의를 만족하는지 확인해야한다.
x는 n차원 state vector이다.
0<r≤ε일 때, ‖x‖≤r 조건을 가진 ball Br이 있다고 하자.
이 set을 Br={‖x‖≤r}로 표기할 수 있다.
여기서 ball 안의 점들이 곧 state들의 집합이다. 이 ball의 boundary에서 가장 작은 V(x) 값을 찾는다.
α=min
이 값보다 더 작은 0<\beta<\alpha를 잡고 set \Omega_{\beta}를 다음과 같이 정의할 수 있다.
\Omega_\beta=\left\{x \in B_r \mid V(x) \leq \beta\right\}
여기서 \Omega_{\beta}는 무조건 B_{r} 안에 속할 수 밖에 없다. (x가 B_{r}에 포함되므로 바깥에 존재할 수 없고, 이 말은 boundary에 존재하는 원소가 없다는 뜻이다.) 이는 앞서 우리가 정한 \alpha의 정의로부터 증명할 수 있다.
예를 들어 \Omega_{\beta}의 원소 중에 어떤 것이 B_{r}의 boundary에 있는 \hat{x}가 있다고 하자. 이 때, V(\hat{x})\geq\alpha일 수 밖에 없다. 왜냐하면 \alpha가 \min _{\|x\|=r} V(x)>0으로 정의되었기 때문이다.
그런데 V_{\hat{x}}\leq \beta이므로 위의 V(\hat{x})\geq\alpha와 모순이 된다. 따라서 \hat{x}은 반드시 B_{r} 내부에 존재하게 된다.
이렇게 했을 때 만약 Lyapunov stability theorem에서 조건으로 말한 것처럼
\text{If there is }V(x)\text{ such that }V(0)=0\text{ and }V(x)>0,\; \forall x\in D\text{ with }x\neq 0
\dot{V}(x)\leq 0\; \forall x\in D
V(x)가 위 조건을 만족한다면 \Omega_{\beta}에 속한 초기 state들은 시간이 지난 이후에도 계속 \Omega_{\beta} 안에 머물게 된다.
\dot{V}(x(t)) \leq 0 \; \Rightarrow \; V(x(t)) \leq V(x(0)) \leq \beta, \; \forall t\geq 0
또한 V(x)는 continuous하고 V(0)=0이면 continuity 정의에 따라 x=0의 \delta neighborhood가 있을 때 V(x) 역시 \epsilon 범위 안에 있음을 알 수 있다.
continuous 정의 : 위키피디아 참조 (또는 미적분학 교과서에는 반드시 있는 내용)

따라서 \delta > 0에 대하여 다음을 만족시킬 수 있다.
\|x\| \leq 0 \; \Rightarrow V(x) < \beta
ball B_{\delta}\subset \Omega_{\beta} \subset B_{r} 관계가 성립된다.
이 말은 곧,
\|x(0)\| \in B_{\delta} 이면 x(0)\in \Omega_{\beta}이다.
\Omega_{\beta}에 속한 state들은 계속 그 안에 머물기 때문에
\|x(t)\| \in \Omega_{\beta} \subset B_{r},\; \forall t\geq 0를 만족한다.
이 증명을 시작할 때 0<r\leq \varepsilon이었던 것을 기억하자.
따라서 stability 정의대로
\|x(0)\|<\delta \Rightarrow\|x(t)\|<\varepsilon, \quad \forall t \geq 0을 만족하므로
Equilibrium point x=0는 stable하다.
여기서 x=0 원점을 잡은 것은 변수를 다르게 잡아 원점 이동이 가능하기 때문에 어떤 equilibrium point라도 일반화시킬 수 있다. 즉 x=3이 원점이었어도 \tilde{x}=x-3으로 잡아서 원점이 stable함을 보이는 것과 동일하므로 x=3도 stable함을 Lyapunov로 보일 수 있다는 뜻이다.
참고로 \Omega_{\beta}가 compact set이라는 사실을 통해 \dot{x}=f(x)의 solution이 unique함을 증명할 수 있다. compact set은 closed and bounded set인데,
closed set인 것은 정의를 통해 알 수 있고, (\Omega_\beta=\left\{x \in B_r \mid V(x) \leq \beta\right\})
bounded set인 것은 B_{r} 내부에 속해 있어야한다는 점에서 알 수 있다.
이렇게 compact set인 것을 밝히면 다음 lemma를 통해 \dot{x}=f(x)가 unique solution을 가짐을 알 수 있다.
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