[비선형제어] Diffeomorphism

 

x라는 변수를 z라는 변수로 mapping할 때 식으로 다음과 같이 표현한다고 하자.

$z=T(x)$

 

흔히 선형대수학에서는 transformation matrix $T$로 표현하면

$z=Tx$로 similarity transformation을 수행할 수 있었다. (T가 nonsingular일 때)

 

비선형 mapping인 경우에는 

$z=T(x)$에서 T가 invertible해야한다.

이 말을 다르게 하면 inverse map $x=T^{-1}(z)$가 모든 $z\in T(D)$ (D는 T의 domain)에서 존재해야한다는 뜻과 같다.

 

보통 T가 함수로 표현되기 때문에 T의 미분은 z와 x에 대하여 continuously differentiable해야한다.

 

A continuously differentiable map with a continuously differentiable inverse is known as a diffeomorphism

 

local diffeomorphism vs. global diffeomorphism

 

local diffeomorphism은 locally diffeomorphism이면 된다.

정의 : A map $T(x)$ is a local diffeomorphism at a point $x_{0}$ if there is a neighborhood N of $x_{0}$ such that T restricted to N is a diffeomorphism on N.

global은 위의 N 대신 $R^{n}$, 전체 space이면 된다.

 

local diffeomorphism을 판단하기 위해서는

$\dfrac{\partial T}{\partial x}$가 특정 점 $x_{0}$에서 nonsingular임을 보이면 된다.

 

Lemma1.4 in Nonlinear control, Khalil

The continuously differentiable map $z=T(x)$ is a local diffeomorphism at $x_{0}$ if the Jacobian matrix $\dfrac{\partial T}{\partial x}$ is nonsingular at $x_{0}$. It is a global diffeomorphism if and only if $\dfrac{\partial T}{\partial x}$ is nonsingularfor all $x\in R^{n}$ and $T$ is proper ; that is, $\lim_{\|x\|\rightarrow \infty} \|T(x)\|=\infty$.

 

위 lemma를 통해, diffeomorphism을 알기 위해서는 일단 그 점에서의 자코비안 행렬이 nonsingular인지 확인하고, 모든 점에 대해서 nonsingular이면 proper map이면 global diffeomorphism이다.