[제어] eigenvalue와 stability 분석 (algebraic multiplicity와 geometric multiplicity의 차이)

 

Khalil의 nonlinear control에서 선형 시스템의 stability를 다음과 같은 theorem으로 정리한다.

 

$\textbf{Theorem 3.1}$

The equilibruim point $x=0$ of $\dot{x}=Ax$ is stable if and only if all eigenvalues of A satisfy $Re[\lambda_{i}]\leq 0 $ and for every eigenvalue with $Re[\lambda_{i}]=0$ and algebraic multiplicity $q_{i}\geq 2 $, $\operatorname{rank}(A-\lambda_{i})=n-q_{i}$, where $n$ is the dimension of $x$. The equilibruim point $x=0$ is globally asymptotically stable if and only if all eigenvalues of A satisfy $Re[\lambda_{i}]<0$.

 

 

여기서 geometric multiplicity와

algebraic multiplicity를 알아야한다.

algebraic multiplicity는 계산에서 곱해지는 제곱수를 의미한다.

$det(A-\lambda I)=(\lambda - \lambda_{i})^{q_{i}}(\ldots)$

 

위와 같이 eigenvalue를 구하기 위해 determinant를 구했을 때 $\lambda_{i}$가 $q_{i}$번 만큼 제곱되는 것을 볼 수 있다. 일반적인 경우에는 eigenvalue 각각마다 한 번씩 등장하지만, algebraic multiplicity가 1보다 클 때 eigenvalue가 중복된다고 말한다.

 

그러면 

$\operatorname{rank}(A-\lambda_{i})=n-q_{i}$는 무슨 의미일까? 이는 geometric multiplicity와 관련이 있다.

우리가 eigendecomposition을 할 때, 분명 중복된 eigenvalue라해도 어떤 상황에서는 eigenvalue에 해당하는 eigenvector가 한 개인 경우가 있고 여러 개인 경우가 있다. 예를 들면 다음과 같다.

 

$\text{case 1 : }\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

$\text{case 2 : }\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

두 matrix는 분명 eigenvalue가 둘 다 0이다. 즉, algebraic multiplicity가 2이다. 그러나 두 상황에서 eigenvector를 구하면,

$\text{case 1 : }\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$

 

$\text{case 2 : }\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$

 

case1은 geometric multiplicity가 1인 경우, case2는 geometric multiplicity가 2인 경우다.

eigenspace를 null space of $A-\lambda I$ 라고 할 때 geometric multiplicity는 eigenspace의 dimension을 의미한다. 이는 다르게 말하면 eigenspace에서의 독립벡터가 곧 eigenvector이고, 이 eigenvector가 중복된 eigenvalue의 algebraic multiplicity만큼 존재하면 geometric multiplicity와 algebraic multiplicity는 일치한다.

 

이렇게 되면 jordan form으로 변환할 때 diagonal matrix가 되기 때문에 이를 시스템 response 관점에서 계산하여도 시스템이 발산하지 않는다.

일반적으로 중복된 eigenvalue가 있을 때 eigenvector 갯수가 중복된 개수보다 적으면

$S^{-1}AS=J=\begin{bmatrix}\lambda_{i} & 1 \\ 0 & \lambda_{i} \end{bmatrix}$와 같은 꼴이 되어서 

시간에 대해 계산하면 t가 무한대로 갈 때 발산한다.

 

따라서 위의 $\operatorname{rank}(A-\lambda_{i})=n-q_{i}$ 조건은 중복된 eigenvalue의 algebraic multiplicity만큼 geometric multiplicity를 가져야한다는 뜻과 동일하다고 볼 수 있다.

 

Note : geometric multiplicity는 algebraic multiplicity보다 클 수 없다.

 

https://people.math.carleton.ca/~kcheung/math/notes/MATH1107/wk10/10_algebraic_and_geometric_multiplicities.html

Algebraic and Geometric Multiplicities