Remind Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부 1. Definition of Observability $\textbf{Definition :}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$ $\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$ $\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$ $\text{there exists a finite time } t_{1}>0\text{ such that knowledge..

Controllability : control input을 이용해 원하는 state로 만들 수 있는지 여부 Observability : 측정한 output을 이용해 state를 estimate할 수 있는지 여부 왜 controllability와 observability가 중요할까? controllability는 제어 관점에서 당연히 중요한 것처럼 보입니다. 우리가 원하는 state로 만들 수 없다면 이는 제어할 수 없다는 의미이기 때문. observability는, 모든 state가 다 측정가능하지는 않다는 점에서 중요합니다. 나는 velocity를 feedback하고 싶은데, 실제로 측정 가능한 센서는 position 밖에 없을 수 있습니다. input과 output(position)을 통해서 velo..

그 전 글들은 모두 continuous time에서의 Lyapunov stability를 다룬 것이므로 Discrete time에 대해서도 정리하려고 합니다. 1. Definition of Stability in Discrete Time $x(k+1)=f(x(k),k), x(k_{0})=x_{0}$ 다음과 같은, Nonlinear/linear time varying/time-invariant systme이 있을 때 이 system과 관련된 $V(x,k)$ 함수의 변화량은 다음과 같이 정의됩니다. $\Delta V(x,k+1)=V(x(k+1),k+1)-V(x(k),k)$ 2. Theorem relative to stability $\textbf{Theorem 1}$ $\text{The equilibrium..

이 글은 Richard Bellman(professor of mathematics, electrical engineering, medicine, University of Southern California)의 Dynamic programming(Science에 게재)을 정리한 글입니다. 다소 저의 이해가 부족해 내용을 왜곡했을 수도 있으니 원문을 찾아보시는 걸 권합니다. 문제 해결을 위한 planning과 programming의 다양성은 많은 수학 이론을 탄생시켰고, dynamic programming은 그 중 하나이다. 일련의 결정 과정이 필요한 문제에서 가장 중요한 것 중 하나는 system을 control하는 문제이다. 이 문제들은 한 번에 해결되는 것이 아니라 상호작용하는 관찰과 행동을 통해 해결..

이것 때문에 글을 5개나 쓸 줄은 몰랐는데.. 글이 길어지면 점점 내용을 세부적으로 찾을 때, 찾기 어려워지는 것 같아서 좀 더 잘게 쪼개서 올리려고 합니다. Lyapunov equation 풀기 $A^{T}P+PA=-Q\text{, where }A\in R^{2\times 2}$ 인 문제를 생각해봅시다. $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ $P=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ $Q = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12}\\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}$ 으로 두고 Lyapunov equat..

이제 LTI system에서 Lyapunov function을 구하는 과정에 대해서 공부하겠습니다. 1. Lyapunov stability theorem 그 전까지는 nonlinear system도 포함하기 위해 $\dot{x}=f(x)$라는 state trajectory를 사용했습니다. (autonomous system) 또한 이 시스템에서 lyapunov function을 찾으면 stable in the sense of Lyapunov임을 알았습니다. (자세한 내용은 normal-engineer.tistory.com/51) 이제는 LTI system에서 Lyapunov function을 다뤄보겠습니다. nth order LTI system $\dot{x}=Ax$ 이 있을 때 nonlinear syst..

보기 편하게 1. The Direct Method of Lyapunov Direct method 말고도 indirect method도 있다고 합니다. 그 경우에는 Nonlinear system을 Linearization해서 stability를 구하는 방법이라고 들었는데, Nonlinear system, Hassan K Kalid 책에 나와있는 것을 본 적이 있어서, 나중에 그 책을 읽고 indirect method에 대해서 공부해보고 싶네요. 어쨌든, 지금까지 stability를 다루는 방식은 eigenvalue를 찾거나, routh-hurwitz 방법을 사용하는 것이었습니다. 하지만 eigenvalue와 routh-hurwitz는 LTI system이 아니라면 구할 수가 없다는 점이 있습니다. 그래서 ..

저번에 이어서 Lyapunov's Direct method에 필요한 Quadratic functions에 대해서 공부하겠습니다. 1. Quadratic Functions Quadratic : 이차의, ex) quadratic equation : 이차방정식 definition $\text{A quadratic function }Q:R^{n}\rightarrow R \text{ is a function of the form :}$ quadratic function은 일종에 어떤 $x\in mathbb{R}^{n}$라는 state 벡터가 있을 때 각 성분의 combination의 조합이라고 할 수 있습니다. 참고로 quadratic function은 $1\times 1 $ matrix입니다. 위에서 나왔던 것..

저번 글에서 stability의 정의와 stability를 판정하는 방법에 대해서 공부했습니다. 그 연장선으로 stability를 판정하는 Lyapunov's Direct Method에 대해서 배우려고 합니다. 그러기 위해서는 몇 가지 기본 개념들을 알고 가야 하기 때문에 이번 글에서는 Positive definite 개념과 그 외의 필요한 수학적 개념들에 대해서 짚고 넘어가겠습니다. 사실 positive definite이라고 하면 positive definite matrix를 먼저 떠올리실 수도 있지만, 여기서는 함수로 먼저 접근하고(모든 시스템이 matrix로 접근할 수 있는 것은 아닙니다. 즉, nonlinear 시스템도 고려해야 합니다.) 나중에는 LTI system 관점에서 볼 것입니다. 1. ..

이번에는 Discrete time(DT) system에서의 stability를 이야기하겠습니다. 1. Definition of equilibrium input이 없는 nth order nonlinear time-varying discrete time system은 다음과 같습니다. $x(k+1)=f(x(k),k), x(k_{0})=x_{0}$ 이 때 $\text{equilibrium state }x_{e}$이 있다고 할 때 $f(x_{e},k)=x(k+1)=x_{e}\text{, where for all k}$일 것입니다. 평형 상태일 때, 아무런 input이 없으면 그 상태를 유지하기 때문입니다. 일반적으로 생각하기 위해 $x=0$을 equilibrium state이라고 합니다. 지금은 nonlinea..