[제어] H2 norm, H infinity norm 개념

linear model의 norm에 대해 정리한다. 행렬이나 벡터, 시스템은 모두 dimension이 2 이상이기 때문에 크기를 비교하기 위해 여러 개념이 도입된다. (행렬에서는 trace나 determinant)

 

linear model에서 norm이라는 개념이 있으므로 간략하게 적어놓는다.

 

$H_{\infty}$와 $H_{2}$ norm

$H_{\infty}$는 stable SISO system일 때 peak gain을 의미한다. frequency domain 상에서 보았을 때 가장 response의 magnitude가 큰 경우를 의미한다.

stable MIMO system일 때는 frequency domain 상에서 가장 큰 singular value를 의미한다.

 

어떤 시스템의 impulse response의 root mean square를 $\left \| H_{2} \right \|$라고 한다.

설명에 따르면 $H_{2}$ norm은 steady state covariance (or power) of the output response $y=Hw$ to unit white noise inputs w.

$\left \| H_{2} \right \|^{2} = \lim_{t\rightarrow \infty} E\left\{ y(t)^{\top}y(t)\right\}$

 

continuous time system with transfer function $H(s)$가 주어져있을 때

$\|H\|_{2}=\sqrt{ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \text{Trace} \left [ H(j \omega)^{H} H(j \omega) \right ] d \omega}$

 

* power spectral density는 auto correlation function의 fourier tranform이자 신호의 power를 frequency에 대해 mapping해놓은 것과 같다. 엄밀하게 말하면, stochastic process는 확률에 따라 결과가 달라지기 때문에 power에 대한 기본적인 time average와 확률에 대한 average까지 추가된다. 여기서는 stochastic process라는 전제가 없어서 넘어감.

 

L-infinity norm

 

stable system일 때 $L_{\infty}$ norm과 $H_{\infty}$ norm이 일치한다. 다만 unstable일 때는 $H_{\infty}$는 무한대지만, $L_{\infty}$는 system의 stability와 관계없이 peak gain을 return한다.

 

 

(추가보완 필요)

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신호및시스템에서 power라는 개념이 있다.

power는 신호를 frequency domain에서 볼 때, 즉 fourier transform을 했을 때 그 amplitude의 제곱을 sum한 것을 말한다. Parseval relation에 따르면

$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^{2} \mathrm{~d} \omega$

 

참고문헌

https://kr.mathworks.com/help/control/ref/lti.norm.html#bsq4toq

Norm of linear model - MATLAB norm - MathWorks 한국

수업자료 등