뛰는 놈 위에 나는 공대생

이번에는 numerical integration의 마지막, Gauss quadrature에 대해서 알아보겠습니다. 1. Definition of Gauss quadrature Gauss quadrature는 특정 weight($w_{i}$)와 함수값 ($f(x_{i})$)의 곱을 discrete하게 더했을 때 그 구간의 definite integral과 거의 approximate하게 만드는 방법입니다. 식으로 표현하면 다음과 같습니다. $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot w_{i}\cdots\cdots (*)$ 이 때, $h\text{ (interval between the points)}, \{w_{i}\}, \{x_{i}\}$는 균일..

이번에는 수치해석 적분 중 하나인 Simpson's rule에 대해서 공부하겠습니다. (mid point rule과 trapezoidal rule에 대해서는 이전 글을 참고해주세요.) 1. Simpson's rule $\text{Rectangular (mid point) rule error : }R(f)=\frac{1}{24}h_{i}^{3}f^{''}(y_{i})+\theta (h_{i}^{5})$ $\text{Trapezoidal rule error : }T(f)=-\frac{1}{12}h_{i}^{3}f^{''}(y_{i})+\theta (h_{i}^{5})$ $y_{i}=\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\text{ : mid point}$ $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ 위의 두 ..

수치해석 수업을 들으면서 수치해석으로 문제를 푸는 과정을 거치고 있습니다. (수치해석 정리글은 나중에 한꺼번에 올라갈 예정) 수치적으로 interpolation을 하는 것 중에 사용되지는 않지만 구현하기는 쉬운 Lagrangian polynomial에 대해 구현한 것을 공유하고자 합니다. Lagranian polynomial을 만드는 방법에 대한 설명은 normal-engineer.tistory.com/95 [수치해석] Interpolation (1) - Polynomial interpolation 이번에는 수치해석에서 사용하는 interpolation 방법에 대해서 알아봅니다. 우리의 목적은 주어진 discrete data $(x_{i},y_{i})\text{ for }i=1,2,3,\ldots, n$..

데이터 단위 bit - byte - field - record - file - database Problems with the Tradition 각 부서마다 다른 application program을 가지고 그 프로그램 안에서 데이터를 다루고 있다. 그러나 각 부서마다 겹치는 데이터가 있음에도 각자 가지고 있어 data redundancy가 발생한다. 또한 데이터가 변경되었는데 다른 곳에서는 업데이트 되지 않아 일관되지 않은 데이터가 존재할 수 있다. 또한 데이터에 접근하는 프로그램이 각자 다르기 때문에 프로그램을 바꾸고 싶을 때 프로그램에 저장된 파일을 모두 변환해줘야 다른 프로그램에서 쓸 수 있다. 그 외에도 lack of flexbility, poor security, lack of data sha..

고체역학을 배운 지 오래되었지만 오랜만에 복습을 하려고 합니다. (꾸준히 할 수 있을지ㅠ) 세부적인 내용을 다루기 보다는 전체적인 그림을 그리는 데에 목적이 있어서 이 카테고리의 포스팅은 고체역학 요약본이라고 생각하시면 됩니다. 자세한 내용은 교재를 보면서 공부하는 것을 권장합니다. 참고 교재 : Statics Vector Mechanics for Engineers : Statics (Ferdinand P. Beer, McGraw-Hill Education, 11th edition) Mechanics of materials (Ferdinand P. Beer, David F. Mazurek, John T. Dewolf, E. Russell Johnston Jr., McGraw-Hill Education, ..

interpolation, differentiation에 이어서 integration을 수치해석적으로 수행해보겠습니다. 1. Introduction $x_{0}(=a)$부터 $x_{n}(=b)$까지 적분을 하려고 합니다. 우리는 discrete하게밖에 계산할 수 없으므로, $I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{j=0}^{n}f_{j}\cdot \omega_{j}$ 적분을 오른쪽 식처럼 계산해야합니다. 이 때 $\omega_{j}$는 weighting factor라고 부릅니다. 이 전에 Lagrange polynomial을 배웠고, 그 polynomial 식은 $p(x)=\sum_{j=0}^{n}f_{j}L_{j}(x)$입니다. 이 방법을 통해 내가 알고 있는 데이터 점들을 충족하는 함수 식을..

1. Order of accuracy / Leading order of error 지금까지 numerical method를 이용해 interpolation하거나 미분을 할 때 어떻게 구하는지, 또 그렇게 했을 때 error가 어떻게 되는지 알아봤습니다. Order of accuracy, Leading order of error는 수치해석에서 가장 신경쓰는 요소 중 하나입니다. error의 order는 클수록 '대체로' 좋습니다. $\theta (h^{p}) \rightarrow p \log \theta(h)$ p는 곧 $\log E$와 $\log (h)$의 기울기이기 때문에 p가 클수록 에러가 작아지면 더 급격하게 에러가 작아집니다. 만약 numerical method를 이용해 derivative를 구하..

1. General procedure to obtain first difference derivatives 이전에 한 논의에 이어서, taylor table을 만드는 과정에 대해서 알아보고자 합니다. 일단 한 예시를 보고 그것을 확장할 수 있습니다. ex) $f_{j}^{'}$를 $f_{j},f_{j+1},f_{j+2}$를 이용해 구하고자 합니다. 최종적으로 $f_{j}^{'}+a_{0}f_{j}+a_{1}f_{j+1}+a_{2}f_{j+2}=\theta(h^{p})\text{, where }h=\Delta x=x_{j+1}-x_{j}=x_{j+2}-x_{j+1}$ 의 형태로 나타냄으로써 $f_{j}^{'}$를 $f_{j},f_{j+1},f_{j+2}$에 대해서 표현하고, 그 때 발생하는 오차의 maxi..

File Input and Output with Arrays Numpy array가 매우 클 경우에는 저장하고 다시 불러올 수 있다. np.save는 저장 np.load는 저정한 array 불러오기 np.save('some_array', arr) np.load('some_array.npy') 텍스트를 불러들이는 것 np.loadtxt np.savetxt Random Number Generation np.random.normal np.random.binormal np.random.randint(0,10,100) : 0에서 10 사이의 100개 np.random.seed로 seed를 설정할 수 있다. np.random에 속해있는 함수들

List가 기본적으로 파이썬에서 제공하는 collection이지만 데이터 분석에 사용하기에는 불편한 점이 있다. - element 단위로 계산하는 것이 불편하다. Numpy가 데이터 분석에 적절한 라이브러리가 될 수 있다. 사용하기 쉽고 빠르며, 계산이 전체 array에 적용될 수 있다. Numpy의 특징 homogeneous collection of "iterms" of the same "data-type" (dtype) linear algebra 등의 수학적 내용을 적용하기 편리하다. C, C++, FORTRAN과 잘 호환된다. ndarray : a fast and space-efficient multidimensional array providing vectorized arithmetic opera..