컴퓨터 상에서 미분을 수행하기 위해서는 어떻게 할까? 앞에서 interpolation을 이용해서 식을 구한 다음에 미분을 수행할 수도 있지만, interpolation을 배제하고 each discrete point에서 derivatives를 구해야한다고 생각해보자. # Notation 참고 $x_{B}^{A}$ : $A$는 시간에서의 위치(Timesteps), $B$는 공간에서의 위치를 의미합니다. Taylor series expansion을 통해서 미분값을 구할 수 있는데, 이 때는 미분가능성이 전제로 되어있어야 합니다. $f^{'}(x)=\underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x_{i}+\Delta x)-f(x_{i})}{\Delta x}=\underset..

이전 interpolation에서 이어지는 내용입니다. 1. Linear interpolation 일반적으로 smooth한 것이 필요한 게 아니라면 linear interpolation을 사용해도 괜찮을 수 있습니다. 하지만 $f^{'},f^{''}, \text{ or }\int f dx$을 알고 싶은 것이 목적이기 때문에 여기서 linear interpolation은 넘어가겠습니다. 2. Cubic Spline interpolation Spline interpolation은 공학적으로 유용한 interpolation이라고 합니다. 2차 미분도 가능하면서, computational cost도 적기 때문입니다. 예를 들어 bending 문제를 살펴보겠습니다. 외부 힘이 중력만 작용하는 경우 이 시스템을 $..

이번에는 수치해석에서 사용하는 interpolation 방법에 대해서 알아봅니다. 우리의 목적은 주어진 discrete data $(x_{i},y_{i})\text{ for }i=1,2,3,\ldots, n$가 있을 때 두 데이터 points 사이에 있는 point의 value y를 구하고 싶은 것입니다. 또한 우리는 $f^{'},f^{''}, \text{ or }\int f dx$도 알고 싶습니다. (위에서 $f^{''}$까지 요구하는 이유는, 보통 기계공학에서 일반적인 DE는 order가 2nd order DE이므로, 두 번 미분한 값까지 아는 것이 좋기 때문입니다.) 주어진 데이터 안에서 알지 못하는 x에 대한 y값을 알 수 있는 방법은, 주어진 데이터를 가지고 시스템의 함수식을 예측해보는 방법이 ..

이전에 $f(z)$를 두 real-valued function $u(x,y)+iv(x,y)$으로 볼 수 있다는 것을 배웠습니다. 당연히 $f^{'}(z)$와 $u(x,y),v(x,y)$의 derivatives와도 연관성이 있을 것입니다. 만약 $f^{'}(z)$가 존재한다면, $u(x,y),v(x,y)$의 first-order partial derivatives가 만족해야만 하는 조건이 있습니다. 이를 통해 $f^{'}(z_{0})$를 $u,v$에 대해서 표현하는 방법도 알게 될 것입니다. Cauchy-Riemann equation은 그에 대한 내용입니다. $\text{first-order partial derivatives of the component functions u and v of a func..

Sec 19. Derivatives Derivatives의 정의 : $f \text{ is a function whose domain of definition contains a neighborhood }|z-z_{0}|

1. Length of vectors $\begin{bmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n}$ vector의 길이($\left \| x \right \|$)에 대한 식은 다음과 같습니다 $\left \| x \right \|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}=x^{T}x$ 2. Orthogonality $x,y\in \mathbb{R}^{n}$ x,y라는 n차원 벡터가 있을 때 두 벡터가 수직이라고 해보자. 피타고라스 공식에 의해 $\left \| x-y \right \|^{2}=\left \| x \right \|^{2}+\left \| y \right \|^{2}\cdots (1)$이 성립..

Sec 15. Limits 앞서 배웠던 neighborhood와 mapping은 limit를 정의할 때 필요한 부분이었습니다. complex plane에서 정의된 function에 대한 limit에 대해 알아보겠습니다. function $f$는 a point $z_{0}$의 some deleted neigborhood 안에 속한 모든 points $z$에 대해 정의되어있습니다. $f(z)$가 가진 limit는 다음과 같이 표현합니다. $\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}f(z)=w_{0}$ 이에 대한 자세한 의미는 아래와 같습니다. $\text{for positive number }\varepsilon\text{, there is a positive number }\delta..

matrix의 처음 등장은 Linear equation을 matrix의 곱으로서 표현한다는 것에서 시작되었습니다. 그러나 matrix를 다른 관점에서도 이해할 수가 있습니다. 바로 matrix를 Linear transformations으로 해석하는 것입니다. $A : m\times n $ $A: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ $\text{ex) }$ 1) 벡터를 스칼라 c배 하는 것 $A=\begin{bmatrix} c&0\\0&c \end{bmatrix}$ $A\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cx\\ cy\end{bmatrix}$ 2) 벡터를 $y=x$ 대칭 $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\..

응용선형대수에서 굉장히 중요한 개념인 Four fundamental subspaces Ax=b에서 b가 A의 matrix의 column space 안에 속해야 solution이 존재한다고 이야기했었고, null space 속한 vector를 더해도 Ax의 값에 영향을 미치지 못하므로 solution에 null space vector를 더한 것 역시 solution이 될 수 있었습니다. $A\bar{x}=b$인 $\bar{x}$는 solution입니다. 이 때 null space에 속한 벡터 $\tilde{x}(\Rightarrow A\tilde{x}=0)$가 있을 때 $\bar{x}+\tilde{x}$도 solution이 됩니다. $A(\bar{x}+\tilde{x})=A\bar{x}+A\tilde{x}..

Chap2. Analytic Functions Sec 13. Functions and Mappings S : a set of complex numbers function f defined on S : rule that assigns to each z in S a complex number $\omega$ 이 때의 set S를 domain of definition이라고 합니다. \omega : value of f at z $\Rightarrow \omega=f(z)$ function에는 그 domain of definition과 value를 구하는 rule이 잘 정의되어 있어야 합니다. $u+iv = f(x+iy)$이라고 할 때 x,y에 대한 real valued function의 pair로 표현할 수 있..