이번에는 Singular Value Decomposition을 통해 matrix의 singular value를 구하고 이 singular value가 어떤 의미를 가지는지 살펴보겠습니다. 그리고 singular value가 기하학적으로, controllability 관점에서 어떤 의미가 있는지 보겠습니다. 1. Singular Value Decomposition 어떤 $m\times n$ matrix를 가질 때 이 matrix는 Unitary matrix $U,V$ 그리고 $\Sigma$를 포함한 matrix의 조합으로 표현할 수 있습니다. 어떻게 위와 같은 decomposition을 얻을 수 있는지, 순서대로 보여드리겠습니다. 복소수일 때는 $A^{*}A$, 실수일 때는 $A^{T}A$의 eigenva..

지금까지 배웠던 controllability와 observability를 실제 예시를 통해 보기로 하겠습니다. (이전 글 참고) 이번에는 그림도 들어가고 matrix의 차원도 높아서 그림 위주로 작성하려고 합니다. 1. Controllability 위와 같은 dynamic system에서 $x_{1}$은 $m_{1}$의 position, $x_{2}$는 velocity로 설정했습니다. 마찬가지로 $m_{2}$의 position, velocity 각각 $x_{3},x_{4}$로 설정했습니다. 따라서 state는 $\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}$ 그림에서 위 식이 이 system의 equation이고 아래 P matrix는 controlla..

제어 공부를 하다가 4차원 이상의 matrix의 determinant를 구하는 과정이 필요했습니다. 그런데 직접적으로 determinant를 구하자니 문자가 포함된 고차원 matrix라서 곤란하더라구요. 그래서 matlab에서 symbolic 식을 쓸 수 있다는 사실을 알고 있어서 이번 기회에 써보기로 했습니다. 제가 determinant를 구할 matrix는 4차원에 문자가 섞여있어서 determinant를 구하기 어렵습니다. 문자가 포함된 P matrix를 만들고, determinant를 구하는 matlab 함수 det를 써서 구해보도록 하겠습니다. 1. 기호 변수 생성 : sym 기호 변수를 만드는 함수는 sym이고, 이 sym을 통해 특정 변수에 기호(symbol)을 넣어줘야합니다. 예를 들어 위..

Remind Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부 1. Definition of observability (CT) $\textbf{Definition :}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$ $\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$ $\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$ $\text{there exists a finite time t_{1}>0 such that knowledge of..

Remind : controllability : control input을 이용해 원하는 state로 만들 수 있는지 여부 이번에는 discrete time이 아닌 continuous time에서 controllability를 판별하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. discrete time과 거의 유사해서 설명 자체를 간소하게 할 수도 있을 것 같습니다. 참고 글 : normal-engineer.tistory.com/71 1. Definition of controllability $\text{The LTI continous time system}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\text{ is said to be controllable if,}$ $\text{for any initial st..

1. Ax=b와 Column space&Null space 관계 이 column space와 null space 개념을 통해 $Ax=b$에 대해 이해해볼 수 있습니다. $\text{Given }Ax=b$ $\text{(i). C(A) provides information whether it has a solution. Ax=b has a solution }\Leftrightarrow$ $\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}\in C(A)$ 만약 b matrix가 column space of A($C(A)$)에 속해있다면 A의 column들의 선형 조합으로 b를 만들 수 있다는 뜻이므로, x가 존재합니다. (x는 A의 column의 선형 조합에서 계수에 해당..

1. Definition of Null space $\text{Definition : }$ $\text{null space of A, }N(A)=\{x\in\mathbb{R}^{n},Ax=0\}$ $\text{claim }N(A)\text{ is a subspace}$ $\text{(i). non-empty }\Rightarrow$ 항상 $A\dot 0=0$이므로 null space에는 영벡터가 존재하고, null space은 empty일 수 없다. $\text{(ii). }Ax_{1}=0, Ax_{2}=0 \Rightarrow A(x_{1}+x_{2})=Ax_{1}+Ax_{2}=0$ $\text{if }x_{1},x_{2}\in N(A)\text{, then }x_{1}+x_{2}\in N(A)$ $\..

Remind Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부 1. Definition of Observability $\textbf{Definition :}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$ $\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$ $\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$ $\text{there exists a finite time } t_{1}>0\text{ such that knowledge..

Controllability : control input을 이용해 원하는 state로 만들 수 있는지 여부 Observability : 측정한 output을 이용해 state를 estimate할 수 있는지 여부 왜 controllability와 observability가 중요할까? controllability는 제어 관점에서 당연히 중요한 것처럼 보입니다. 우리가 원하는 state로 만들 수 없다면 이는 제어할 수 없다는 의미이기 때문. observability는, 모든 state가 다 측정가능하지는 않다는 점에서 중요합니다. 나는 velocity를 feedback하고 싶은데, 실제로 측정 가능한 센서는 position 밖에 없을 수 있습니다. input과 output(position)을 통해서 velo..

보통 다루는 matrix가 square matrix라서 거의 생각을 안했는데 최근 제어 공부를 하다가 controllability matrix나 observability matrix가 rectangular matrix이어서 rectangular matrix에 대해서 좀 고민하게 되었습니다. 1. Rectangular matrix의 곱에서 singularity를 판별하는 문제 $A\in \mathbb{R}^{m\times n},B\in \mathbb{R}^{n\times m}\text{, where }m