앞에서 작성한 글을 참고하는 것을 추천드립니다. 이번에는 LU Decomposition에 대해서 다루겠습니다. LU Decomposition은 linear equation의 solution을 구할 때 도움이 되기 때문에 소개해드립니다. 이 글에서 말하는 LU가 무엇을 의미하느냐, $L\text{ : Lower triangular matrix}$ $U \text{ : Upper triangular matrix}$ 입니다. LU Decomposition 어떤 matrix A가 A = LU로 표현할 수 있다고 해보겠습니다. 우리가 앞서서 operation matrix 3가지를 살펴보았는데요, (자세한 내용은 아래 링크) normal-engineer.tistory.com/66?category=964340 [응용..

역행렬을 구할 수 있는 방법에 대해서 정리합니다. 물론 2x2 matrix나 3x3 matrix까지는 이미 공식으로도 나와 있어서 굳이 여기서 설명하는 방법을 사용하지는 않아도 되지만 기억해두면 좋을 것 같습니다. 1. Three row operations 그 전에 gaussian elimination에 대해서 공부를 했었습니다. 자세한 내용은 아래 링크를 참고해주세요. normal-engineer.tistory.com/60?category=964340 [응용선형대수] Gauss elimination 가우스 소거법 앞의 글에서 linear equation에 대해서 보았고 해에 대한 3가지 경우를 살펴보았습니다. 복잡한 고차방정식에서도 해가 없는지, 무수히 많은지, unique solution이 존재하는지..

이번에는 Inverse matrix(역행렬)과 invertible의 성질에 대해서 정리합니다. 1. Inverse matrix 정의 $\text{Let A be an m x n matrix, if }\exists B\text{ such that }BA=I_{n}\text{, B is called a left inverse of A}$ $I_{n}\text{ is a n x n identity matrix}$ $\text{Let A be an m x n matrix, if }\exists C\text{ such that }AC=I_{m}\text{, C is called a right inverse of A}$ 만약 A가 square matrix가 아닌 rectangular matrix라면 left inv..

대학 수학 이상의 textbook에서 자주 사용되는 영어 용어들을 정리해보았다. Axiom (공리) : 증명할 수 없지만 참으로 인정되는 수학적 서술 Definition (정의) : 용어의 수학적 의미를 설명한 것 Theorem (정리) : 정의나 공리를 통해 참으로 증명된 중요한 statement Lemma (정리) : 다른 정리를 증명하기 위해 사용되는 true statement Corollary (따름 정리) : 증명된 정리로부터 쉽게 도출해낼 수 있는 명제 Conjecture (추측) : 참인 것처럼 여겨지지만 참으로 증명되지 않은 statement Proposition (명제) : theorem에 비해 덜 중요하지만 참인 statement Example 위에서 나온 definition, theo..

그 전 글들은 모두 continuous time에서의 Lyapunov stability를 다룬 것이므로 Discrete time에 대해서도 정리하려고 합니다. 1. Definition of Stability in Discrete Time $x(k+1)=f(x(k),k), x(k_{0})=x_{0}$ 다음과 같은, Nonlinear/linear time varying/time-invariant systme이 있을 때 이 system과 관련된 $V(x,k)$ 함수의 변화량은 다음과 같이 정의됩니다. $\Delta V(x,k+1)=V(x(k+1),k+1)-V(x(k),k)$ 2. Theorem relative to stability $\textbf{Theorem 1}$ $\text{The equilibrium..

이번에는 matrix에 관한 용어, 성질 및 특성에 대해서 알아보겠습니다. (matrices : matrix의 복수형) 1. matrix 종류 matrix를 element를 $a_{ij}$라고 할 때 $i$는 row, $j$는 column입니다. column vector : $m\times 1$ 크기의 matrix \begin{bmatrix} a_{11}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{bmatrix} 이고 row vector : $1 \times n$ 크기의 $\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\end{bmatrix}$ matrix diagonal matrix : 대각선 위 아래가 0인 matrix ex) \begin{bmatrix}* & 0 & 0\\ 0 ..

이 글은 Richard Bellman(professor of mathematics, electrical engineering, medicine, University of Southern California)의 Dynamic programming(Science에 게재)을 정리한 글입니다. 다소 저의 이해가 부족해 내용을 왜곡했을 수도 있으니 원문을 찾아보시는 걸 권합니다. 문제 해결을 위한 planning과 programming의 다양성은 많은 수학 이론을 탄생시켰고, dynamic programming은 그 중 하나이다. 일련의 결정 과정이 필요한 문제에서 가장 중요한 것 중 하나는 system을 control하는 문제이다. 이 문제들은 한 번에 해결되는 것이 아니라 상호작용하는 관찰과 행동을 통해 해결..

앞의 글에서 linear equation에 대해서 보았고 해에 대한 3가지 경우를 살펴보았습니다. 복잡한 고차방정식에서도 해가 없는지, 무수히 많은지, unique solution이 존재하는지를 알고 싶을 수 있습니다. 이 때는 gauss elimination을 통해 확인해볼 수 있습니다. gauss elimination은 중학교 때 했던 소거법과 거의 비슷하다고 생각합니다. $\left\{\begin{matrix}x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+0x_{4}=3\\ 2x_{1}+6x_{2}-2x_{3}+4x_{4}=18\\0x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{4}=10\end{matrix}\right.$ 다음과 같은 equation이 있다고 할 때, 이를 아래와 같은 형태로 표현하겠습니다. $\b..

대학교 1학년 때 배웠던 응용선형대수 필기가 있는데, 종이에 적어놓다보니 너덜너덜해져서 인터넷에 정리해서 기록하는 게 좋다고 판단했습니다. 혹시나 이 글을 보시는 분들도 도움이 되기를 바랍니다. 기본적으로 수업 필기와 Linear algebra and its applications(Gilbert Strang, 4th edition)을 참고하여 글을 작성합니다. Linear equation 중학생 때 방정식을 배우고, 이차방정식을 배웠습니다. 그 때 이차방정식은 두 개의 미지수(예를 들면 $x,y$)로 이루어진 방정식이었습니다. $\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{matrix}\right.$ 다음과 같은 식에서 미지수 하..

C드라이브는 SSD 118GB, D드라이브는 하드디스크 1TB를 쓰고 있다. 묵직한 프로그램은 하드디스크에 설치하면 되겠지~하고 느긋하게 C드라이브 용량을 잡았다. 그러나, 가능하면 SSD 용량을 크게 할 걸, 하고 정말 후회하는 중이다. 어도비 프로그램의 경우, CC버전은 어도비 프로그램들을 업데이트하고 지속적으로 관리해주는 Creative cloud를 C드라이브에 깔아야하는데 이게 용량이 크다. 그리고 무조건 C드라이브에 설치해버린다. 또한 3D modelling 프로그램인 Inventor도 필수적으로 C드라이브에 설치해야하는 용량만 10~20GB정도 된다. (D에 설치 불가능) 그래서 돈만 된다면 무조건 드라이브 용량은 크게 사야한다는 말에 이제 공감하게 되었다. 어쨌든 지금은 드라이브를 바꿀 수 ..