뛰는 놈 위에 나는 공대생

Khalil의 nonlinear control에서 선형 시스템의 stability를 다음과 같은 theorem으로 정리한다. $\textbf{Theorem 3.1}$ The equilibruim point $x=0$ of $\dot{x}=Ax$ is stable if and only if all eigenvalues of A satisfy $Re[\lambda_{i}]\leq 0 $ and for every eigenvalue with $Re[\lambda_{i}]=0$ and algebraic multiplicity $q_{i}\geq 2 $, $\operatorname{rank}(A-\lambda_{i})=n-q_{i}$, where $n$ is the dimension of $x$. The equi..

조금이라도 제어에 대해 공부한 사람이라면 한 번쯤 들어볼 법한, Lyapunov stability theorem. 이 Lyapunov stability theorem에 대한 증명은 Khalil의 Nonlinear control에 잘 나와있다. 처음에 그냥 읽으면 무슨 소리인지 납득이 안되는 부분이 있는 것 같아서, 증명을 이해하는 연결다리를 써보고자 글을 쓴다. Lyapunov stability theorem $\text{If there is }V(x)\text{ such that }V(0)=0\text{ and }V(x)>0,\; \forall x\in D\text{ with }x\neq 0$ $\dot{V}(x)\leq 0\; \forall x\in D$ $\text{then the origin is..

저번 글에서 phase plane과 vector field diagram을 그려주는 MATLAB app을 소개했었다. 그런데 이 프로그램은 2차원에서만 가능하기 때문에 변수가 하나 더 늘면 구현이 불가능했다. 그래서 간단하게 3차원 공간에서 벡터 필드를 그리고, 실제 초기 조건에 대하여 시뮬레이션까지 수행하여서 그려보는 코드를 작성하였다. 1. 시스템 $\dot{x}=-x+y$ $\dot{y}=-0.1x^3-y-10\sin x$ $\dot{z}=y-z$ 다음과 같은 시스템이 있다고 할 때 interval = pi/2 ; start_pt = -pi ; end_pt = -start_pt ; [x1,y1,z1] = meshgrid(start_pt:interval:end_pt, start_pt:interval:..

Autonomous 시스템에 대하여 Phase portrait (state plane, phase plane)을 그려주는 프로그램이 있어서 수업시간에 배운 내용을 그려보았다. 프로그램의 UI가 잘 되어있어서 추천하는 바이다. 1. Tunnel-diode circuit system 다음 시스템은 Tunnel-diode circuit 시스템을 다룬 것이며 이 시스템은 $x_{1}=v_{C}, x_{2}=i_{L}$ 일 때 $$ \begin{gathered} \dot{x}_1=0.5\left[-h\left(x_1\right)+x_2\right] \\ \dot{x}_2=0.2\left(-x_1-1.5 x_2+1.2\right) \\ h\left(x_1\right)=17.76 x_1-103.79 x_1^2+229..

1. Time domain에서의 해석 low pass filter 식으로 알려져있는 $\displaystyle\frac{y}{y_{c}}=\frac{1}{\tau s + 1}$는 time domain에서 다음과 같이 표현된다. $\dot{y}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(y-y_{c})=0$ 여기서 $\tau$는 시상수(time constant)라는 이름으로 많이 쓰인다. 그 의미는, response가 1을 기준으로 $1-e^{-1}=0.6321$만큼 도달했을 때의 시간을 의미한다. 이를 구하는 방법은 역라플라스 변환도 있는데 직접적으로 구하면 $\dot{y}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(y-y_{c})=0$ $\displaystyle\frac{dy}{y-y_{..

Optimal control problem은 광범위하지만, 보통 세 가지 problem을 주로 다룬다. 이 문제 형식으로 formulation을 해서 문제를 푸는 방식들에 적용하는 것이라고 생각하면 될 것이다. 기호 표현 및 정의 집합 B에 대한 A의 차집합 $B \backslash A$는 B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합을 의미한다. functional : $$ F[y(x)]=\int_{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$$ 주어진 문제 상황 Controlled object $$\dot{x}=f(x,u)$$ $\text{where } x=(x^{1},x^{2},..,x^{n})^{\top}\in R^{n}$ : state $u = (u^{1},u^{2},...,u^{r})^{\top}..

이 글에서는 딥러닝에 사용되는 automatic differentiation에 대한 설명을 하고자 한다. 참고한 서적은 Mathematics for machine learning이다. 처음에는 automatic differentiation에 대한 설명을 하고, 이를 딥러닝 백엔드인 PyTorch 결과값을 가지고 이해를 해볼 것이다. 내가 모델에 대해 많이 알고 있지 않아도 요즘은 코드가 잘 되어있어서 쉽게 딥러닝을 테스트해볼 수 있지만 그 구조를 바꾸려면 더 깊은 내용을 알아야 하기 때문에 이 내용을 자세히 살펴볼 필요가 있다. 필요한 사전 지식 : Vector, Matrix calculus Notation 주의 일반적으로 gradient vector를 column vector로 쓰는 경우가 있고, ro..

Linear quadratic regulator 라는 용어를 보다가 정리하는 글. 나중에 좀 더 자료를 보강할 필요가 있다. 1. Regulation problem 시스템의 초기 state와 external disturbance(외란)에 관계없이 0으로 수렴하도록 만들어야 하는 문제이다. reference signal이 0일 때, 초기 상태나 외란으로 인해 0에서 시작할 수 없어도 나중에는 0으로 수렴해야 한다. 2. Tracking problem Reference signal $r(t)$가 있을 때 그 $r(t)$와 출력 $y(t)$ 사이의 에러가 0이 되도록 만들어야 하는 문제이다. servo problem이라고도 한다. 두 문제가 같은 것처럼 보이지만 하나는 disturbance를 제거하는 문제이고..

이 글을 읽기 전에 참고하면 좋은 글 : https://normal-engineer.tistory.com/214 [제어] Realization에 대한 고찰 이전 글에서 transfer function을 canonical form으로 바꾸는 것, 즉, realization에 대해서 공부를 했었다. 이전 글 : https://normal-engineer.tistory.com/25 [고등자동제어] State space와 transfer function.. normal-engineer.tistory.com MATLAB canon 활용법 MATLAB에서는 Transfer function을 canonical form으로 바꿔주는 함수인 canon이 있다.이 함수를 쓰면 canonical form으로 쉽게 바꿔주지만..

이전 글에서 transfer function을 canonical form으로 바꾸는 것, 즉, realization에 대해서 공부를 했었다. 이전 글 : https://normal-engineer.tistory.com/25 [고등자동제어] State space와 transfer function의 관계 MATLAB에서는 친절하게 State space model과 transfer function 간에 전환하기 쉽도록 되어 있습니다. 그러다보니 굳이 원리를 몰라도 state space model에서 transfer function으로 바꿀 수도 있고, 반대도 가능.. normal-engineer.tistory.com 그런데 이 realization은 여러 가지 방식으로 할 수 있다. 즉, 고정된 form이 없..