1. Time domain에서의 해석 low pass filter 식으로 알려져있는 $\displaystyle\frac{y}{y_{c}}=\frac{1}{\tau s + 1}$는 time domain에서 다음과 같이 표현된다. $\dot{y}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(y-y_{c})=0$ 여기서 $\tau$는 시상수(time constant)라는 이름으로 많이 쓰인다. 그 의미는, response가 1을 기준으로 $1-e^{-1}=0.6321$만큼 도달했을 때의 시간을 의미한다. 이를 구하는 방법은 역라플라스 변환도 있는데 직접적으로 구하면 $\dot{y}+\displaystyle\frac{1}{\tau}(y-y_{c})=0$ $\displaystyle\frac{dy}{y-y_{..

Optimal control problem은 광범위하지만, 보통 세 가지 problem을 주로 다룬다. 이 문제 형식으로 formulation을 해서 문제를 푸는 방식들에 적용하는 것이라고 생각하면 될 것이다. 기호 표현 및 정의 집합 B에 대한 A의 차집합 $B \backslash A$는 B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합을 의미한다. functional : $$ F[y(x)]=\int_{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$$ 주어진 문제 상황 Controlled object $$\dot{x}=f(x,u)$$ $\text{where } x=(x^{1},x^{2},..,x^{n})^{\top}\in R^{n}$ : state $u = (u^{1},u^{2},...,u^{r})^{\top}..

이 글에서는 딥러닝에 사용되는 automatic differentiation에 대한 설명을 하고자 한다. 참고한 서적은 Mathematics for machine learning이다. 처음에는 automatic differentiation에 대한 설명을 하고, 이를 딥러닝 백엔드인 PyTorch 결과값을 가지고 이해를 해볼 것이다. 내가 모델에 대해 많이 알고 있지 않아도 요즘은 코드가 잘 되어있어서 쉽게 딥러닝을 테스트해볼 수 있지만 그 구조를 바꾸려면 더 깊은 내용을 알아야 하기 때문에 이 내용을 자세히 살펴볼 필요가 있다. 필요한 사전 지식 : Vector, Matrix calculus Notation 주의 일반적으로 gradient vector를 column vector로 쓰는 경우가 있고, ro..

Linear quadratic regulator 라는 용어를 보다가 정리하는 글. 나중에 좀 더 자료를 보강할 필요가 있다. 1. Regulation problem 시스템의 초기 state와 external disturbance(외란)에 관계없이 0으로 수렴하도록 만들어야 하는 문제이다. reference signal이 0일 때, 초기 상태나 외란으로 인해 0에서 시작할 수 없어도 나중에는 0으로 수렴해야 한다. 2. Tracking problem Reference signal $r(t)$가 있을 때 그 $r(t)$와 출력 $y(t)$ 사이의 에러가 0이 되도록 만들어야 하는 문제이다. servo problem이라고도 한다. 두 문제가 같은 것처럼 보이지만 하나는 disturbance를 제거하는 문제이고..

이 글을 읽기 전에 참고하면 좋은 글 : https://normal-engineer.tistory.com/214 [제어] Realization에 대한 고찰 이전 글에서 transfer function을 canonical form으로 바꾸는 것, 즉, realization에 대해서 공부를 했었다. 이전 글 : https://normal-engineer.tistory.com/25 [고등자동제어] State space와 transfer function.. normal-engineer.tistory.com MATLAB canon 활용법 MATLAB에서는 Transfer function을 canonical form으로 바꿔주는 함수인 canon이 있다.이 함수를 쓰면 canonical form으로 쉽게 바꿔주지만..

이전 글에서 transfer function을 canonical form으로 바꾸는 것, 즉, realization에 대해서 공부를 했었다. 이전 글 : https://normal-engineer.tistory.com/25 [고등자동제어] State space와 transfer function의 관계 MATLAB에서는 친절하게 State space model과 transfer function 간에 전환하기 쉽도록 되어 있습니다. 그러다보니 굳이 원리를 몰라도 state space model에서 transfer function으로 바꿀 수도 있고, 반대도 가능.. normal-engineer.tistory.com 그런데 이 realization은 여러 가지 방식으로 할 수 있다. 즉, 고정된 form이 없..

시스템에 대한 Transfer function을 구하면 보통 $s=j\omega$로 두고 bode plot을 그려서 주파수 응답을 확인한다. bode plot 외에도 nyquist plot, nichols plot 등 시스템에 대해 이해하기 위한 plot들이 있다. 그런 plot은 이미 MATLAB에 구현되어있으므로 넘어가고 여기서 소개하는 코드는 간단하게 직접 s plane(complex domain)에서 Transfer function의 크기와 위상이 어떻게 되는지 확인하는 plot을 그리는 코드이다. 아래 코드에서 사용된 transfer function은 $\frac{s+2}{s^2+6s+5}$ 이다. % Code for magnitude and phase plot of transfer functi..

우리가 제어를 할 때 actuator model을 넣는 것이 현실적이다. 비행기의 control surface를 제어하는 경우에는 이 control surface를 제어하는 물리적인 장치가 신호 전달에 개입하기 때문이다. 보통 actuator는 1차 시스템, 또는 2차 시스템으로 모델링하는데 여기서는 왜 1차 시스템으로 모델링하는지에 대해 책에서 이에 대한 설명을 봐서 소개하고자 한다. 더 좋은 actuator model에 대한 설명이 있으면 추가할 예정이다. 여기서는 electric motor를 기준으로 모델링을 한다. 모터는 입력 전압에 비례하게 torque를 발생시킨다. 이를 수식으로 표현하면 $T_{m}=k_{m}v_{c}$ $\text{where } v_{c} \text{ : voltage, }..

linear model의 norm에 대해 정리한다. 행렬이나 벡터, 시스템은 모두 dimension이 2 이상이기 때문에 크기를 비교하기 위해 여러 개념이 도입된다. (행렬에서는 trace나 determinant) linear model에서 norm이라는 개념이 있으므로 간략하게 적어놓는다. $H_{\infty}$와 $H_{2}$ norm $H_{\infty}$는 stable SISO system일 때 peak gain을 의미한다. frequency domain 상에서 보았을 때 가장 response의 magnitude가 큰 경우를 의미한다. stable MIMO system일 때는 frequency domain 상에서 가장 큰 singular value를 의미한다. 어떤 시스템의 impulse resp..

제어 이론의 발전에 따라 책들이 너무 많다. 나중에 필요한 이론이 있을 때 찾기 쉽도록 적는 글이다. 책의 범위에 따라 중복되어 작성된 책이 있을 수 있다. Linear control theory S.Skogestad, I.Postlehwaite, Multivariable Feedback Control Analysis and Design, 2nd edition, Wiley, 2005 Nonlinear control theory J.E. Slotine, Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991 Khalil, Hassan K. Nonlinear Control, Pearson, 2014 W. M. Haddad and V. Chellaboina, Nonlinear dy..