뛰는 놈 위에 나는 공대생

이 글은 Richard Bellman(professor of mathematics, electrical engineering, medicine, University of Southern California)의 Dynamic programming(Science에 게재)을 정리한 글입니다. 다소 저의 이해가 부족해 내용을 왜곡했을 수도 있으니 원문을 찾아보시는 걸 권합니다. 문제 해결을 위한 planning과 programming의 다양성은 많은 수학 이론을 탄생시켰고, dynamic programming은 그 중 하나이다. 일련의 결정 과정이 필요한 문제에서 가장 중요한 것 중 하나는 system을 control하는 문제이다. 이 문제들은 한 번에 해결되는 것이 아니라 상호작용하는 관찰과 행동을 통해 해결..

이것 때문에 글을 5개나 쓸 줄은 몰랐는데.. 글이 길어지면 점점 내용을 세부적으로 찾을 때, 찾기 어려워지는 것 같아서 좀 더 잘게 쪼개서 올리려고 합니다. Lyapunov equation 풀기 $A^{T}P+PA=-Q\text{, where }A\in R^{2\times 2}$ 인 문제를 생각해봅시다. $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ $P=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ $Q = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12}\\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}$ 으로 두고 Lyapunov equat..

이제 LTI system에서 Lyapunov function을 구하는 과정에 대해서 공부하겠습니다. 1. Lyapunov stability theorem 그 전까지는 nonlinear system도 포함하기 위해 $\dot{x}=f(x)$라는 state trajectory를 사용했습니다. (autonomous system) 또한 이 시스템에서 lyapunov function을 찾으면 stable in the sense of Lyapunov임을 알았습니다. (자세한 내용은 normal-engineer.tistory.com/51) 이제는 LTI system에서 Lyapunov function을 다뤄보겠습니다. nth order LTI system $\dot{x}=Ax$ 이 있을 때 nonlinear syst..

보기 편하게 1. The Direct Method of Lyapunov Direct method 말고도 indirect method도 있다고 합니다. 그 경우에는 Nonlinear system을 Linearization해서 stability를 구하는 방법이라고 들었는데, Nonlinear system, Hassan K Kalid 책에 나와있는 것을 본 적이 있어서, 나중에 그 책을 읽고 indirect method에 대해서 공부해보고 싶네요. 어쨌든, 지금까지 stability를 다루는 방식은 eigenvalue를 찾거나, routh-hurwitz 방법을 사용하는 것이었습니다. 하지만 eigenvalue와 routh-hurwitz는 LTI system이 아니라면 구할 수가 없다는 점이 있습니다. 그래서 ..

저번에 이어서 Lyapunov's Direct method에 필요한 Quadratic functions에 대해서 공부하겠습니다. 1. Quadratic Functions Quadratic : 이차의, ex) quadratic equation : 이차방정식 definition $\text{A quadratic function }Q:R^{n}\rightarrow R \text{ is a function of the form :}$ quadratic function은 일종에 어떤 $x\in mathbb{R}^{n}$라는 state 벡터가 있을 때 각 성분의 combination의 조합이라고 할 수 있습니다. 참고로 quadratic function은 $1\times 1 $ matrix입니다. 위에서 나왔던 것..

저번 글에서 stability의 정의와 stability를 판정하는 방법에 대해서 공부했습니다. 그 연장선으로 stability를 판정하는 Lyapunov's Direct Method에 대해서 배우려고 합니다. 그러기 위해서는 몇 가지 기본 개념들을 알고 가야 하기 때문에 이번 글에서는 Positive definite 개념과 그 외의 필요한 수학적 개념들에 대해서 짚고 넘어가겠습니다. 사실 positive definite이라고 하면 positive definite matrix를 먼저 떠올리실 수도 있지만, 여기서는 함수로 먼저 접근하고(모든 시스템이 matrix로 접근할 수 있는 것은 아닙니다. 즉, nonlinear 시스템도 고려해야 합니다.) 나중에는 LTI system 관점에서 볼 것입니다. 1. ..

이번에는 Discrete time(DT) system에서의 stability를 이야기하겠습니다. 1. Definition of equilibrium input이 없는 nth order nonlinear time-varying discrete time system은 다음과 같습니다. $x(k+1)=f(x(k),k), x(k_{0})=x_{0}$ 이 때 $\text{equilibrium state }x_{e}$이 있다고 할 때 $f(x_{e},k)=x(k+1)=x_{e}\text{, where for all k}$일 것입니다. 평형 상태일 때, 아무런 input이 없으면 그 상태를 유지하기 때문입니다. 일반적으로 생각하기 위해 $x=0$을 equilibrium state이라고 합니다. 지금은 nonlinea..

저번에 이어서 stability of LTI system과 Routh-Hurwitz criterion을 정리하겠습니다. 1. Stability of LTI system 앞서 배울 때는 기본적으로 nonlinear time-varying system을 고려했습니다. 대부분의 시스템이 그렇기도 하구요. 하지만 LTI system에 대하여 우리는 solution도 알고 있고 해석 방법도 알고 있기 때문에, 이것들을 이용해 LTI system은 그 stability를 쉽게 알 수 있습니다. LTI system에서 eigenvalues를 통해 stability를 판별할 수 있습니다. 다음은 stability를 판별할 수 있게 도식화해놓은 것입니다. 1) LTI system에서 eigenvalues 중 하나라도 r..

이번에는 stability에 대해 정리하겠습니다. continuous time에 대해서 먼저 하고 그 다음에는 discrete time에 대해서 하려고 합니다. 1. Definition of equilibrium nth order nonlinear time-varying continuous time system에서 input을 고려하지 않고 식을 쓰면 다음과 같습니다. $\dot{x}=f(x,t)\text{ and }x(t_{0})=x_{0}$ * time-varying system이므로 관계식에 t가 들어가며, nonlinear이기 때문에 matrix로 표현하는 대신 f 함수를 사용했습니다. 이와 같은 시스템이 있을 때 평형 상태에 대해 이야기하면, $\text{At equilibrium state }..

1. Convert Continous time model to Discrete time model 우리가 다루는 제어기는 컴퓨터 내에서 계산되고, 계산 결과 나오는 입력 신호 역시 디지털 신호지만, 그 신호를 받는 시스템은 아날로그인 경우가 있습니다. 그리고 analog plant에서 나오는 출력(아날로그)을 측정하는 것은 센서인데, 센서가 아무리 빠르게 sampling을 한다고 해도 그 값 역시 discrete한 값일 겁니다. 그 과정을 도식화하면 위의 그림과 같습니다. discrete time input signal - continuous time model - discrete time output signal 일반적으로 discrete time input signal을 continous time m..