뛰는 놈 위에 나는 공대생

LTI system의 transfer function을 state space로 구성하는 것을 배웠고, Laplace transform과 Z transform, LTI system에서 solution을 이미 알고 있습니다. 이번에는 system의 solution을 inverse laplace transform을 통해서도 구하고자 합니다. 1. Solution of Continuous time nth order system $\frac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $x(t)=e^{At}x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$ 우리가 이미 알고 있는 solution은 다음과 같습니다. 위의 equation에 Laplace transform을 취하면 $sX(..

(1)에서 이어지는 내용이기 때문에 (1)먼저 보는 것을 추천드리지만, (2)만 보는 분들을 위해 matrix A에 대해 eigenvalues, eigenvectors, 그리고 transformation matrix T까지 구하는 과정들을 첨부합니다. (읽으셔야 아래 내용이 더 이해가 잘 됩니다.) 4) Meaning of eigenvalues and eigenvectors 이렇게 구한 eigenvalues, eigenvectors 그리고 matrix exponential까지.. 이에 대한 물리적인 의미에 대해서 찾아보려고 합니다. 어떤 dynamic (LTI) system에 대해서 우리는 equation을 만들었고, equation의 solution도 구했습니다. (normal-engineer.tist..

그 전 게시글에서는 matrix exponential을 구하는 방법에 대해서 다뤘습니다.(normal-engineer.tistory.com/32) 하지만, 눈치채셨을 지 모르겠지만, 사실 특정 case인 1) diagonal matrix, 2) jordan form, 3) complex eigenvalues 일 때만을 다루었씁니다. $\text{Diagonal matrix}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0\\ 0 & \lambda_{2} & 0\\ 0 & 0 & \lambda_{3} \end{bmatrix}$ $\text{Jordan form}=\begin{bmatrix} \lambda_{m} & 1 & 0\\ 0 & \lambda_{m} & 1\\ 0 & 0 & \lam..

1. Discrete time first order system (scalar) $x(k+1)=ax(k)+bu(k)$ $x(k_{0})=x_{k_{0}}$ 다음과 같은 시스템의 solution : $x(k)=a^{k-k_{0}}x(k_{0})+\sum_{j=k_{0}}^{k-1}a^{(k-1-j)bu(j)}$ 앞서 continuous time에서도 말했듯이 free response와 forced response의 조합으로 구할 수 있다. 2. Discrete time nth order system (matrix) 1) State equation $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$ $x(k_{0})=x_{k_{0}}$ $x\in R^{n}, A\in R^{n\times n}$ solution은 $x(k)..

앞서 본 State space model을 식으로써 풀어볼 수 있습니다. 일반적인 미분방정식은 풀 수 있다면, 그것을 확장하여 행렬로 이루어진 미분방정식도 풀 수 있습니다. 그래서 처음에는 스칼라 계수를 가진 미분방정식을 풀고 이것을 행렬로 확장할 것입니다. 1. Continuous time first order system (scalar) 시스템에서 continuous time first order system은, $\frac{dx(t)}{dt}=ax(t)+bu(t)$ $x(t_{0})=x_{0}$ 다음과 같이 주어져있습니다. 이 시스템은 linear하기 때문에 $\frac{dx(t)}{dt}=ax(t)+bu(t)$와 $\frac{dx(t)}{dt}=ax(t)$의 solution의 조합으로 표현할 수 ..

제어에서 많이 쓰이는 수학에 대해서 간단하게 정리합니다. 사실 상 전부 linear algebra 내용입니다. 1. Field F Definition : a set of elements called scalars together with two binary operations, addition(+) and multiplication(·) such that for all $\alpha,\beta,\gamma \in F$ 1) Closure : $\alpha\cdot\beta\in F, \alpha+\beta\in F$ 2) Commutativity : $\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha, \alpha+\beta=\beta+\alpha$ 3) Associativity 4) Dist..

이번에는 system을 modeling하는 방법에 대해서 알아보려고 합니다. state space model이나 transfer function을 다루기 이전에 알아야할 내용인 것 같습니다만, 기초적인 제어 내용을 알고 있다는 전제 하에 내용을 정리하다보니 이렇게 되는 것 같습니다. 시스템에는 각 element에 따라 differential equation을 구할 수 있습니다. 그런데 같은 differential equation이라 해도 state variables를 무엇으로 잡는지에 따라 state space model이 달라집니다. 우리의 목표는, 여러 elements가 있는 시스템에서 일관되게 모델링하는 방법을 찾는 것입니다. 그러기 위해서는 시스템에 있는 각 element들의 특성을 이해하는 것이..

MATLAB에서는 친절하게 State space model과 transfer function 간에 전환하기 쉽도록 되어 있습니다. 그러다보니 굳이 원리를 몰라도 state space model에서 transfer function으로 바꿀 수도 있고, 반대도 가능합니다만, 저는 원리를 다 알아보고 가겠습니다. 0. System의 input과 output의 관계 어떤 LTI 시스템에서 input u(t)을 넣었을 때 output y(t)를 구하는 방법은, u(t)*g(t) (g(t) : Impulse response)를 수행하는 것입니다. 즉, u(t)와 g(t)를 convolution하는 방법입니다. 이는 frequency domain 또는 s domain에서 쉽게 곱셈으로 풀 수 있기 때문에, time ..

이번에는 제어에서 중요한 주제인 State space model에 대해서 이야기하고자 합니다. 앞서 배웠던 Laplace transform과 Z-transform을 통해서 input과 output간의 관계식을 구할 수 있고, 이를 보통 transfer function이라고 합니다. 예를 들면, 다음과 같은 mass spring damper system이 있다고 합시다. spring의 탄성게수를 k라고 하고, 관성과 질량을 무시하겠습니다. damper는 linear damping이고 damping coefficient는 c로 가정하겠습니다. 이렇게 했을 때, mass에 f(t)라는 힘을 가하고 있습니다. 이 경우에 Differential equation을 적으면 다음과 같습니다. input은 f(t)이고,..

Discrete time system일 때, z transform을 적용한다. 1. Meaning / Definition Laplace transform과 유사하게, z-transform은 Linear Difference Equation을 푸는데에 유용한 방법입니다.마찬가지로 Linear Difference Equation을 z-transform을 통해 algebraic equation으로 전환하고, 이를 equation을 풀어서 다시 Inverse Z-transform을 해서 솔루션을 구합니다. $ \text{Discrete time function f : } Z_{+} \rightarrow \Re, f : k \mapsto f(k) \text{ The symbol k will imply a non-n..