저번에 이어서 Lyapunov's Direct method에 필요한 Quadratic functions에 대해서 공부하겠습니다. 1. Quadratic Functions Quadratic : 이차의, ex) quadratic equation : 이차방정식 definition $\text{A quadratic function }Q:R^{n}\rightarrow R \text{ is a function of the form :}$ quadratic function은 일종에 어떤 $x\in mathbb{R}^{n}$라는 state 벡터가 있을 때 각 성분의 combination의 조합이라고 할 수 있습니다. 참고로 quadratic function은 $1\times 1 $ matrix입니다. 위에서 나왔던 것..

저번 글에서 stability의 정의와 stability를 판정하는 방법에 대해서 공부했습니다. 그 연장선으로 stability를 판정하는 Lyapunov's Direct Method에 대해서 배우려고 합니다. 그러기 위해서는 몇 가지 기본 개념들을 알고 가야 하기 때문에 이번 글에서는 Positive definite 개념과 그 외의 필요한 수학적 개념들에 대해서 짚고 넘어가겠습니다. 사실 positive definite이라고 하면 positive definite matrix를 먼저 떠올리실 수도 있지만, 여기서는 함수로 먼저 접근하고(모든 시스템이 matrix로 접근할 수 있는 것은 아닙니다. 즉, nonlinear 시스템도 고려해야 합니다.) 나중에는 LTI system 관점에서 볼 것입니다. 1. ..

이번에는 Discrete time(DT) system에서의 stability를 이야기하겠습니다. 1. Definition of equilibrium input이 없는 nth order nonlinear time-varying discrete time system은 다음과 같습니다. $x(k+1)=f(x(k),k), x(k_{0})=x_{0}$ 이 때 $\text{equilibrium state }x_{e}$이 있다고 할 때 $f(x_{e},k)=x(k+1)=x_{e}\text{, where for all k}$일 것입니다. 평형 상태일 때, 아무런 input이 없으면 그 상태를 유지하기 때문입니다. 일반적으로 생각하기 위해 $x=0$을 equilibrium state이라고 합니다. 지금은 nonlinea..

저번에 이어서 stability of LTI system과 Routh-Hurwitz criterion을 정리하겠습니다. 1. Stability of LTI system 앞서 배울 때는 기본적으로 nonlinear time-varying system을 고려했습니다. 대부분의 시스템이 그렇기도 하구요. 하지만 LTI system에 대하여 우리는 solution도 알고 있고 해석 방법도 알고 있기 때문에, 이것들을 이용해 LTI system은 그 stability를 쉽게 알 수 있습니다. LTI system에서 eigenvalues를 통해 stability를 판별할 수 있습니다. 다음은 stability를 판별할 수 있게 도식화해놓은 것입니다. 1) LTI system에서 eigenvalues 중 하나라도 r..

이번에는 stability에 대해 정리하겠습니다. continuous time에 대해서 먼저 하고 그 다음에는 discrete time에 대해서 하려고 합니다. 1. Definition of equilibrium nth order nonlinear time-varying continuous time system에서 input을 고려하지 않고 식을 쓰면 다음과 같습니다. $\dot{x}=f(x,t)\text{ and }x(t_{0})=x_{0}$ * time-varying system이므로 관계식에 t가 들어가며, nonlinear이기 때문에 matrix로 표현하는 대신 f 함수를 사용했습니다. 이와 같은 시스템이 있을 때 평형 상태에 대해 이야기하면, $\text{At equilibrium state }..

1. Convert Continous time model to Discrete time model 우리가 다루는 제어기는 컴퓨터 내에서 계산되고, 계산 결과 나오는 입력 신호 역시 디지털 신호지만, 그 신호를 받는 시스템은 아날로그인 경우가 있습니다. 그리고 analog plant에서 나오는 출력(아날로그)을 측정하는 것은 센서인데, 센서가 아무리 빠르게 sampling을 한다고 해도 그 값 역시 discrete한 값일 겁니다. 그 과정을 도식화하면 위의 그림과 같습니다. discrete time input signal - continuous time model - discrete time output signal 일반적으로 discrete time input signal을 continous time m..

LTI system의 transfer function을 state space로 구성하는 것을 배웠고, Laplace transform과 Z transform, LTI system에서 solution을 이미 알고 있습니다. 이번에는 system의 solution을 inverse laplace transform을 통해서도 구하고자 합니다. 1. Solution of Continuous time nth order system $\frac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $x(t)=e^{At}x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$ 우리가 이미 알고 있는 solution은 다음과 같습니다. 위의 equation에 Laplace transform을 취하면 $sX(..

(1)에서 이어지는 내용이기 때문에 (1)먼저 보는 것을 추천드리지만, (2)만 보는 분들을 위해 matrix A에 대해 eigenvalues, eigenvectors, 그리고 transformation matrix T까지 구하는 과정들을 첨부합니다. (읽으셔야 아래 내용이 더 이해가 잘 됩니다.) 4) Meaning of eigenvalues and eigenvectors 이렇게 구한 eigenvalues, eigenvectors 그리고 matrix exponential까지.. 이에 대한 물리적인 의미에 대해서 찾아보려고 합니다. 어떤 dynamic (LTI) system에 대해서 우리는 equation을 만들었고, equation의 solution도 구했습니다. (normal-engineer.tist..

그 전 게시글에서는 matrix exponential을 구하는 방법에 대해서 다뤘습니다.(normal-engineer.tistory.com/32) 하지만, 눈치채셨을 지 모르겠지만, 사실 특정 case인 1) diagonal matrix, 2) jordan form, 3) complex eigenvalues 일 때만을 다루었씁니다. $\text{Diagonal matrix}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0\\ 0 & \lambda_{2} & 0\\ 0 & 0 & \lambda_{3} \end{bmatrix}$ $\text{Jordan form}=\begin{bmatrix} \lambda_{m} & 1 & 0\\ 0 & \lambda_{m} & 1\\ 0 & 0 & \lam..

1. Discrete time first order system (scalar) $x(k+1)=ax(k)+bu(k)$ $x(k_{0})=x_{k_{0}}$ 다음과 같은 시스템의 solution : $x(k)=a^{k-k_{0}}x(k_{0})+\sum_{j=k_{0}}^{k-1}a^{(k-1-j)bu(j)}$ 앞서 continuous time에서도 말했듯이 free response와 forced response의 조합으로 구할 수 있다. 2. Discrete time nth order system (matrix) 1) State equation $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$ $x(k_{0})=x_{k_{0}}$ $x\in R^{n}, A\in R^{n\times n}$ solution은 $x(k)..