Remind Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부 1. Definition of observability (CT) $\textbf{Definition :}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$ $\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$ $\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$ $\text{there exists a finite time t_{1}>0 such that knowledge of..

Remind : controllability : control input을 이용해 원하는 state로 만들 수 있는지 여부 이번에는 discrete time이 아닌 continuous time에서 controllability를 판별하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. discrete time과 거의 유사해서 설명 자체를 간소하게 할 수도 있을 것 같습니다. 참고 글 : normal-engineer.tistory.com/71 1. Definition of controllability $\text{The LTI continous time system}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\text{ is said to be controllable if,}$ $\text{for any initial st..

1. Ax=b와 Column space&Null space 관계 이 column space와 null space 개념을 통해 $Ax=b$에 대해 이해해볼 수 있습니다. $\text{Given }Ax=b$ $\text{(i). C(A) provides information whether it has a solution. Ax=b has a solution }\Leftrightarrow$ $\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}\in C(A)$ 만약 b matrix가 column space of A($C(A)$)에 속해있다면 A의 column들의 선형 조합으로 b를 만들 수 있다는 뜻이므로, x가 존재합니다. (x는 A의 column의 선형 조합에서 계수에 해당..

1. Definition of Null space $\text{Definition : }$ $\text{null space of A, }N(A)=\{x\in\mathbb{R}^{n},Ax=0\}$ $\text{claim }N(A)\text{ is a subspace}$ $\text{(i). non-empty }\Rightarrow$ 항상 $A\dot 0=0$이므로 null space에는 영벡터가 존재하고, null space은 empty일 수 없다. $\text{(ii). }Ax_{1}=0, Ax_{2}=0 \Rightarrow A(x_{1}+x_{2})=Ax_{1}+Ax_{2}=0$ $\text{if }x_{1},x_{2}\in N(A)\text{, then }x_{1}+x_{2}\in N(A)$ $\..

Remind Observability : output과 input을 알고 있을 때, 시스템의 state을 estimate할 수 있는지 여부 1. Definition of Observability $\textbf{Definition :}$ $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ $y(t)=Cx(t)+Du(t), A\in R^{n\times n}, C\in R^{r\times n}$ $\text{The LTI continuous time system is said to be observable if, }$ $\text{for any initial state }x(0)=x_{0}$ $\text{there exists a finite time } t_{1}>0\text{ such that knowledge..

Controllability : control input을 이용해 원하는 state로 만들 수 있는지 여부 Observability : 측정한 output을 이용해 state를 estimate할 수 있는지 여부 왜 controllability와 observability가 중요할까? controllability는 제어 관점에서 당연히 중요한 것처럼 보입니다. 우리가 원하는 state로 만들 수 없다면 이는 제어할 수 없다는 의미이기 때문. observability는, 모든 state가 다 측정가능하지는 않다는 점에서 중요합니다. 나는 velocity를 feedback하고 싶은데, 실제로 측정 가능한 센서는 position 밖에 없을 수 있습니다. input과 output(position)을 통해서 velo..

보통 다루는 matrix가 square matrix라서 거의 생각을 안했는데 최근 제어 공부를 하다가 controllability matrix나 observability matrix가 rectangular matrix이어서 rectangular matrix에 대해서 좀 고민하게 되었습니다. 1. Rectangular matrix의 곱에서 singularity를 판별하는 문제 $A\in \mathbb{R}^{m\times n},B\in \mathbb{R}^{n\times m}\text{, where }m

앞에서 썼던 LU Decomposition 외에도 Cholesky decomposition, QR Decomposition, SVD(Singular Value Decomposition) 등 다양한 행렬분해가 존재한다는 사실을 알게 되었습니다. 가끔 시간 날 때마다 정리를 해두면 도움이 될 것 같아서 적어둡니다. 위키피디아(ko.wikipedia.org/wiki/%ED%96%89%EB%A0%AC_%EB%B6%84%ED%95%B4)에 따르면, 선형 방정식과 관련된 분해와 교윳값(eigenvalue)에 근거한 분해 2가지 종류의 분해가 대표적으로 쓰입니다. LU, QR, Cholesky decomposition은 선형 방정식과 관련된 분해이고, eigenvalue, jordan, singular value d..

참고하면 좋은 글 : normal-engineer.tistory.com/29 [고등자동제어] 제어에서 필요한 수학 개념 제어에서 많이 쓰이는 수학에 대해서 간단하게 정리합니다. 사실 상 전부 linear algebra 내용입니다. 1. Field F Definition : a set of elements called scalars together with two binary operations, additio.. normal-engineer.tistory.com 1. Vector space $\text{Vector space : abstract concept of }\mathbb{R}^{n}$ $\text{Let }V=\mathbb{R}^{n}$ $a=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$ $..

앞에서 작성한 글을 참고하는 것을 추천드립니다. 이번에는 LU Decomposition에 대해서 다루겠습니다. LU Decomposition은 linear equation의 solution을 구할 때 도움이 되기 때문에 소개해드립니다. 이 글에서 말하는 LU가 무엇을 의미하느냐, $L\text{ : Lower triangular matrix}$ $U \text{ : Upper triangular matrix}$ 입니다. LU Decomposition 어떤 matrix A가 A = LU로 표현할 수 있다고 해보겠습니다. 우리가 앞서서 operation matrix 3가지를 살펴보았는데요, (자세한 내용은 아래 링크) normal-engineer.tistory.com/66?category=964340 [응용..