수학 Mathematics

수학 공부를 할 때마다 증명 문제를 많이 마주하게 되는데 그럴 때마다 증명에 대한 체계가 없어서 이번에 겸사겸사 정리한다. 1. 논리 기호 표시 $\neg$ 또는 $\thicksim$ : not $\wedge$ : and $\vee$ : or $\bot$ : a logical contradiction or a false statement (a statement which truth value is false). $\neg p \rightarrow \bot$ 은 곧 $p$가 참이라는 뜻이다. 2. 직접 증명 Direct proof 일반적인 수학책에서 다루는 것처럼 정의(definition), 공리(axiom), 정리(theorem)를 이용해서 증명하는 방법 3. 수학적 귀납법 proof by inducti..

공학 공부를 하다보면 식을 전개할 때 미분적분 기호의 순서를 바꾸는 경우가 왕왕 있다. 그런데 미적분학 내용이 가물가물하다보니 무슨 근거로 적분 기호 순서를 맘대로 바꾸는지 모르겠어서 이번 기회에 조금씩 정리를 하려고 한다. 대부분의 내용은 영문 wikipedia를 참고하였다. 더 엄밀하게 따지려면 수학전공책을 보고, 여기서는 바로 활용하기 좋게 간단히 적는다. 개념 integrand : 피적분함수 (적분의 대상이 되는 함수) iterated integral : $\int \left ( \int f(x,y) dx \right) dy$ iterated integral은 위 식을 예로 들면 y를 given이라고 생각하고 x에 대해서 적분한다. x라는 변수가 사라졌을 것이므로 y에 대해서도 적분한다. mult..

이전에 $f(z)$를 두 real-valued function $u(x,y)+iv(x,y)$으로 볼 수 있다는 것을 배웠습니다. 당연히 $f^{'}(z)$와 $u(x,y),v(x,y)$의 derivatives와도 연관성이 있을 것입니다. 만약 $f^{'}(z)$가 존재한다면, $u(x,y),v(x,y)$의 first-order partial derivatives가 만족해야만 하는 조건이 있습니다. 이를 통해 $f^{'}(z_{0})$를 $u,v$에 대해서 표현하는 방법도 알게 될 것입니다. Cauchy-Riemann equation은 그에 대한 내용입니다. $\text{first-order partial derivatives of the component functions u and v of a func..

Sec 19. Derivatives Derivatives의 정의 : $f \text{ is a function whose domain of definition contains a neighborhood }|z-z_{0}|

1. Length of vectors $\begin{bmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n}$ vector의 길이($\left \| x \right \|$)에 대한 식은 다음과 같습니다 $\left \| x \right \|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}=x^{T}x$ 2. Orthogonality $x,y\in \mathbb{R}^{n}$ x,y라는 n차원 벡터가 있을 때 두 벡터가 수직이라고 해보자. 피타고라스 공식에 의해 $\left \| x-y \right \|^{2}=\left \| x \right \|^{2}+\left \| y \right \|^{2}\cdots (1)$이 성립..

Sec 15. Limits 앞서 배웠던 neighborhood와 mapping은 limit를 정의할 때 필요한 부분이었습니다. complex plane에서 정의된 function에 대한 limit에 대해 알아보겠습니다. function $f$는 a point $z_{0}$의 some deleted neigborhood 안에 속한 모든 points $z$에 대해 정의되어있습니다. $f(z)$가 가진 limit는 다음과 같이 표현합니다. $\underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}f(z)=w_{0}$ 이에 대한 자세한 의미는 아래와 같습니다. $\text{for positive number }\varepsilon\text{, there is a positive number }\delta..

matrix의 처음 등장은 Linear equation을 matrix의 곱으로서 표현한다는 것에서 시작되었습니다. 그러나 matrix를 다른 관점에서도 이해할 수가 있습니다. 바로 matrix를 Linear transformations으로 해석하는 것입니다. $A : m\times n$ $A: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ $\text{ex) }$ 1) 벡터를 스칼라 c배 하는 것 $A=\begin{bmatrix} c&0\\0&c \end{bmatrix}$ $A\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cx\\ cy\end{bmatrix}$ 2) 벡터를 $y=x$ 대칭 $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\..

응용선형대수에서 굉장히 중요한 개념인 Four fundamental subspaces Ax=b에서 b가 A의 matrix의 column space 안에 속해야 solution이 존재한다고 이야기했었고, null space 속한 vector를 더해도 Ax의 값에 영향을 미치지 못하므로 solution에 null space vector를 더한 것 역시 solution이 될 수 있었습니다. $A\bar{x}=b$인 $\bar{x}$는 solution입니다. 이 때 null space에 속한 벡터 $\tilde{x}(\Rightarrow A\tilde{x}=0)$가 있을 때 $\bar{x}+\tilde{x}$도 solution이 됩니다. $A(\bar{x}+\tilde{x})=A\bar{x}+A\tilde{x}..

Chap2. Analytic Functions Sec 13. Functions and Mappings S : a set of complex numbers function f defined on S : rule that assigns to each z in S a complex number $\omega$ 이 때의 set S를 domain of definition이라고 합니다. \omega : value of f at z $\Rightarrow \omega=f(z)$ function에는 그 domain of definition과 value를 구하는 rule이 잘 정의되어 있어야 합니다. $u+iv = f(x+iy)$이라고 할 때 x,y에 대한 real valued function의 pair로 표현할 수 있..

수업을 들으면서 수업 및 교재를 기반으로 정리글을 작성합니다. 강의와 교재를 기반으로 하기 때문에 대부분은 정확할 것이라 믿지만 잘못된 부분이 있다면 지적해주시면 감사하겠습니다. (제 개인적인 해설도 많이 들어가기 때문에 잘못 생각하는 부분이 있을 수 있습니다.) 책은 James Ward Brown, Ruel V. Churchill의 Complex Variables and Applications (9th edition)입니다. Chapter1. Complex numbers Sec 1. Sums and Products Complex number($z$) Definition : complex plane의 한 점 = pair (x,y) of real numbers (x,0) : point on the real..